Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval Unicode version

Theorem cvrval 29459
Description: Binary relation expressing  B covers  A, which means that  B is larger than  A and there is nothing in between. Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68. (cvbr 22862 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrfval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrfval.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, K    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( z)   
.< ( z)

Proof of Theorem cvrval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrfval.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrfval.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrfval 29458 . . . . 5  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) } )
5 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) )
65opabbii 4083 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }
74, 6syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } )
87breqd 4034 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X C Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
983ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
10 df-br 4024 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } )
11 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  y  <->  X  .<  y ) )
12 breq1 4026 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  z  <->  X  .<  z ) )
1312anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) )
1413rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1514notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1611, 15anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) )
17 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<  y  <->  X  .<  Y ) )
18 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  .<  y  <->  z  .<  Y ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2019rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2120notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2217, 21anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2316, 22opelopab2 4285 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2410, 23syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
25243adant1 973 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
269, 25bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   ` cfv 5255   Basecbs 13148   ltcplt 14075    <o ccvr 29452
This theorem is referenced by:  cvrlt  29460  cvrnbtwn  29461  cvrval2  29464  cvrcon3b  29467  lautcvr  30281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-covers 29456
  Copyright terms: Public domain W3C validator