Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval Unicode version

Theorem cvrval 30081
Description: Binary relation expressing  B covers  A, which means that  B is larger than  A and there is nothing in between. Definition 3.2.18 of [PtakPulmannova] p. 68. (cvbr 22878 analog.) (Contributed by NM, 18-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrfval.s  |-  .<  =  ( lt `  K )
cvrfval.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    z, K    z, X    z, Y
Allowed substitution hints:    A( z)    C( z)   
.< ( z)

Proof of Theorem cvrval
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvrfval.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cvrfval.s . . . . . 6  |-  .<  =  ( lt `  K )
3 cvrfval.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrfval 30080 . . . . 5  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) } )
5 3anass 938 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) )
65opabbii 4099 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }
74, 6syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( K  e.  A  ->  C  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } )
87breqd 4050 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  ( X C Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
983ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y ) )
10 df-br 4040 . . . 4  |-  ( X { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) ) ) } Y  <->  <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } )
11 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  y  <->  X  .<  y ) )
12 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<  z  <->  X  .<  z ) )
1312anbi1d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) )
1413rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( x  =  X  ->  ( E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1514notbid 285 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .< 
y ) ) )
1611, 15anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( x  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) )
17 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( X  .<  y  <->  X  .<  Y ) )
18 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  Y  ->  (
z  .<  y  <->  z  .<  Y ) )
1918anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <-> 
( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2019rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( y  =  Y  ->  ( E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2120notbid 285 . . . . . 6  |-  ( y  =  Y  ->  ( -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y )  <->  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) )
2217, 21anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( y  =  Y  ->  (
( X  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  y
) )  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2316, 22opelopab2 4301 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) }  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
2410, 23syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
25243adant1 973 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  .<  y  /\  -.  E. z  e.  B  (
x  .<  z  /\  z  .<  y ) ) ) } Y  <->  ( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
269, 25bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <-> 
( X  .<  Y  /\  -.  E. z  e.  B  ( X  .<  z  /\  z  .<  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   ` cfv 5271   Basecbs 13164   ltcplt 14091    <o ccvr 30074
This theorem is referenced by:  cvrlt  30082  cvrnbtwn  30083  cvrval2  30086  cvrcon3b  30089  lautcvr  30903
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-covers 30078
  Copyright terms: Public domain W3C validator