Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval3 Unicode version

Theorem cvrval3 29907
Description: Binary relation expressing  Y covers  X. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval3.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval3.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
3 cvrval3.c . . . . . 6  |-  C  =  (  <o  `  K )
41, 2, 3cvrlt 29765 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  X ( lt
`  K ) Y )
5 cvrval3.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cvrval3.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cvrval3.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 29906 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X ( lt `  K ) Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
94, 8syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  E. p  e.  A  ( X C ( X 
.\/  p )  /\  ( X  .\/  p ) 
.<_  Y ) )
10 simp3l 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
11 simp1l1 1050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
12 simp1l2 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B )
13 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  A )
141, 5, 6, 3, 7cvr1 29904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  ->  ( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
1511, 12, 13, 14syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  p  .<_  X  <-> 
X C ( X 
.\/  p ) ) )
1610, 15mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
17 hllat 29858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
191, 7atbase 29784 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
20193ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  p  e.  B )
211, 6latjcl 14442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  ( X  .\/  p
)  e.  B )
2218, 12, 20, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  e.  B )
231, 2, 3cvrlt 29765 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  ( X  .\/  p )  e.  B )  /\  X C ( X  .\/  p ) )  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  p ) )
2411, 12, 22, 10, 23syl31anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X ( lt `  K ) ( X 
.\/  p ) )
25 simp3r 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  .<_  Y )
26 hlpos 29860 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
2711, 26syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
28 simp1l3 1052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B )
29 simp1r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  ->  X C Y )
301, 5, 2, 3cvrnbtwn2 29770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( X  .\/  p )  e.  B )  /\  X C Y )  -> 
( ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  p
)  =  Y ) )
3127, 12, 28, 22, 29, 30syl131anc 1197 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( ( X ( lt `  K ) ( X  .\/  p
)  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  <-> 
( X  .\/  p
)  =  Y ) )
3224, 25, 31mpbi2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( X  .\/  p
)  =  Y )
3316, 32jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  /\  p  e.  A  /\  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y ) )  -> 
( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )
34333exp 1152 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( p  e.  A  ->  ( ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  ->  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) ) )
3534reximdvai 2784 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  ( E. p  e.  A  ( X C ( X  .\/  p )  /\  ( X  .\/  p )  .<_  Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
369, 35mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  X C Y )  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )
3736ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  ->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
38 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  -.  p  .<_  X )
39 simp11 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  K  e.  HL )
40 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X  e.  B )
41 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  p  e.  A )
4239, 40, 41, 14syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  ( -.  p  .<_  X  <->  X C
( X  .\/  p
) ) )
4338, 42mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X C ( X  .\/  p ) )
44 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  ( X  .\/  p )  =  Y )
4543, 44breqtrd 4204 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A  /\  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) )  ->  X C Y )
4645rexlimdv3a 2800 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X 
.\/  p )  =  Y )  ->  X C Y ) )
4737, 46impbid 184 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X C Y  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  X  /\  ( X  .\/  p )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   Posetcpo 14360   ltcplt 14361   joincjn 14364   Latclat 14437    <o ccvr 29757   Atomscatm 29758   HLchlt 29845
This theorem is referenced by:  cvrval4N  29908  cvrval5  29909  islln3  30004  llnexatN  30015  islpln3  30027  lplnexatN  30057  islvol3  30070  isline4N  30271  lhpexnle  30500
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846
  Copyright terms: Public domain W3C validator