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Theorem cvrval5 29604
Description: Binary relation expressing  X covers  X  ./\  Y. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrval5.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    ./\ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29553 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3 cvrval5.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cvrval5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
53, 4latmcl 14157 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
62, 5syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
7 simp2 956 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 cvrval5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cvrval5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cvrval5.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
11 cvrval5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 29602 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
131, 6, 7, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
1423ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  K  e.  Lat )
166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
173, 11atbase 29479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1817ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  e.  B )
193, 8, 9latlej2 14167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )
2220, 21breqtrd 4047 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  X )
2322biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  Y  <->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
24 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  X  e.  B )
25 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  Y  e.  B )
263, 8, 4latlem12 14184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2823, 27bitr2d 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  p  .<_  Y ) )
2928notbid 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) )
3029ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  ->  ( -.  p  .<_  ( X  ./\ 
Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) ) )
3130pm5.32rd 621 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X ) ) )
3214adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
336adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
3417adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
353, 9latjcom 14165 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
3736eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  <->  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) )
3837anbi2d 684 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  Y  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
3931, 38bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
4039rexbidva 2560 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) ) )
4113, 40bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151    <o ccvr 29452   Atomscatm 29453   HLchlt 29540
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  30213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541
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