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Theorem cvrval5 30226
Description: Binary relation expressing  X covers  X  ./\  Y. (Contributed by NM, 7-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval5.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cvrval5.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cvrval5.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cvrval5.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cvrval5.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
cvrval5.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
cvrval5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    C, p    K, p    .<_ , p    ./\ , p    X, p    Y, p
Allowed substitution hint:    .\/ ( p)

Proof of Theorem cvrval5
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30175 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
3 cvrval5.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
4 cvrval5.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
53, 4latmcl 14173 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
62, 5syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
7 simp2 956 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
8 cvrval5.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cvrval5.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 cvrval5.c . . . 4  |-  C  =  (  <o  `  K )
11 cvrval5.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
123, 8, 9, 10, 11cvrval3 30224 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
131, 6, 7, 12syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X ) ) )
1423ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  K  e.  Lat )
166ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
173, 11atbase 30101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1817ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  e.  B )
193, 8, 9latlej2 14183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
2015, 16, 18, 19syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p ) )
21 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )
2220, 21breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  p  .<_  X )
2322biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  Y  <->  ( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y ) ) )
24 simpll2 995 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  X  e.  B )
25 simpll3 996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  Y  e.  B )
263, 8, 4latlem12 14200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B
) )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2715, 18, 24, 25, 26syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
( p  .<_  X  /\  p  .<_  Y )  <->  p  .<_  ( X  ./\  Y )
) )
2823, 27bitr2d 245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  (
p  .<_  ( X  ./\  Y )  <->  p  .<_  Y ) )
2928notbid 285 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A )  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X )  ->  ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) )
3029ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  ->  ( -.  p  .<_  ( X  ./\ 
Y )  <->  -.  p  .<_  Y ) ) )
3130pm5.32rd 621 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X ) ) )
3214adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  K  e.  Lat )
336adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
3417adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  p  e.  B )
353, 9latjcom 14181 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  p  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) ) )
3632, 33, 34, 35syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  ( p  .\/  ( X 
./\  Y ) ) )
3736eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( (
( X  ./\  Y
)  .\/  p )  =  X  <->  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) )
3837anbi2d 684 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  Y  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
3931, 38bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  p  e.  A
)  ->  ( ( -.  p  .<_  ( X 
./\  Y )  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
4039rexbidva 2573 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  ( X  ./\  Y
)  /\  ( ( X  ./\  Y )  .\/  p )  =  X )  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  ( p  .\/  ( X  ./\  Y ) )  =  X ) ) )
4113, 40bitrd 244 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) C X  <->  E. p  e.  A  ( -.  p  .<_  Y  /\  (
p  .\/  ( X  ./\ 
Y ) )  =  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  lhpmcvr2  30835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
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