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Theorem cvxpcon 24930
Description: A convex subset of the complex numbers is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvxpcon.1  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
cvxpcon.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  S )
cvxpcon.3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cvxpcon.4  |-  K  =  ( Jt  S )
Assertion
Ref Expression
cvxpcon  |-  ( ph  ->  K  e. PCon )
Distinct variable groups:    t, J    x, t, y, K    ph, t, x, y    t, S, x, y
Allowed substitution hints:    J( x, y)

Proof of Theorem cvxpcon
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvxpcon.4 . . 3  |-  K  =  ( Jt  S )
2 cvxpcon.3 . . . . 5  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
32cnfldtop 18819 . . . 4  |-  J  e. 
Top
4 cvxpcon.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  CC )
5 cnex 9072 . . . . 5  |-  CC  e.  _V
6 ssexg 4350 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  S  e.  _V )
74, 5, 6sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
8 resttop 17225 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  e.  _V )  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
93, 7, 8sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  Top )
101, 9syl5eqel 2521 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
112dfii3 18914 . . . . . . . 8  |-  II  =  ( Jt  ( 0 [,] 1 ) )
122cnfldtopon 18818 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
14 unitssre 11043 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
15 ax-resscn 9048 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
1614, 15sstri 3358 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  CC
1716a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0 [,] 1
)  C_  CC )
1813cnmptid 17694 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  t )  e.  ( J  Cn  J ) )
194adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  S  C_  CC )
20 simprr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
2119, 20sseldd 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  x  e.  CC )
2213, 13, 21cnmptc 17695 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  x )  e.  ( J  Cn  J ) )
232mulcn 18898 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  x.  e.  ( ( J 
tX  J )  Cn  J ) )
2513, 18, 22, 24cnmpt12f 17699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( t  x.  x
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
26 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
1  e.  CC )
2813, 13, 27cnmptc 17695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  1 )  e.  ( J  Cn  J ) )
292subcn 18897 . . . . . . . . . . . 12  |-  -  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  -  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3113, 28, 18, 30cnmpt12f 17699 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( 1  -  t
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
32 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
3319, 32sseldd 3350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
y  e.  CC )
3413, 13, 33cnmptc 17695 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  y )  e.  ( J  Cn  J ) )
3513, 31, 34, 24cnmpt12f 17699 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  ( J  Cn  J ) )
362addcn 18896 . . . . . . . . . 10  |-  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  +  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3813, 25, 35, 37cnmpt12f 17699 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  CC  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
3911, 13, 17, 38cnmpt1res 17709 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  J ) )
40 cvxpcon.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) )  e.  S )
41403exp2 1172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  S  ->  ( y  e.  S  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  S
) ) ) )
4241com23 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  S  ->  ( x  e.  S  ->  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) )  e.  S
) ) ) )
4342imp42 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  S  /\  x  e.  S )
)  /\  t  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  e.  S )
44 eqid 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )
4543, 44fmptd 5894 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> S )
46 frn 5598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> S  ->  ran  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  C_  S )
4745, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  ran  ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  C_  S
)
48 cnrest2 17351 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  ran  (
t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) )  C_  S  /\  S  C_  CC )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  <->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Jt  S ) ) ) )
4913, 47, 19, 48syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  J
)  <->  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  e.  ( II  Cn  ( Jt  S ) ) ) )
5039, 49mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  ( Jt  S ) ) )
511oveq2i 6093 . . . . . 6  |-  ( II 
Cn  K )  =  ( II  Cn  ( Jt  S ) )
5250, 51syl6eleqr 2528 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  K ) )
53 0elunit 11016 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
54 oveq1 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  (
t  x.  x )  =  ( 0  x.  x ) )
55 oveq2 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  0 ) )
5626subid1i 9373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5755, 56syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  0  ->  (
1  -  t )  =  1 )
5857oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  0  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( 1  x.  y ) )
5954, 58oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  0  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y
) ) )
60 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) )  e. 
_V
6159, 44, 60fvmpt 5807 . . . . . . 7  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  0
)  =  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) ) )
6253, 61ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  0 )  =  ( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y
) )
6321mul02d 9265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0  x.  x
)  =  0 )
6433mulid2d 9107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 1  x.  y
)  =  y )
6563, 64oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) )  =  ( 0  +  y ) )
6633addid2d 9268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0  +  y )  =  y )
6765, 66eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 0  x.  x )  +  ( 1  x.  y ) )  =  y )
6862, 67syl5eq 2481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
0 )  =  y )
69 1elunit 11017 . . . . . . 7  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
70 oveq1 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  (
t  x.  x )  =  ( 1  x.  x ) )
71 oveq2 6090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  ( 1  -  1 ) )
72 1m1e0 10069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  -  1 )  =  0
7371, 72syl6eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  1  ->  (
1  -  t )  =  0 )
7473oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  1  ->  (
( 1  -  t
)  x.  y )  =  ( 0  x.  y ) )
7570, 74oveq12d 6100 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  1  ->  (
( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) )  =  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y
) ) )
76 ovex 6107 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) )  e. 
_V
7775, 44, 76fvmpt 5807 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  1
)  =  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) ) )
7869, 77ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  1 )  =  ( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y
) )
7921mulid2d 9107 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 1  x.  x
)  =  x )
8033mul02d 9265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( 0  x.  y
)  =  0 )
8179, 80oveq12d 6100 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) )  =  ( x  +  0 ) )
8221addid1d 9267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( x  +  0 )  =  x )
8381, 82eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( 1  x.  x )  +  ( 0  x.  y ) )  =  x )
8478, 83syl5eq 2481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  -> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
1 )  =  x )
85 fveq1 5728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( f `  0
)  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  0 ) )
8685eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( ( f ` 
0 )  =  y  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
0 )  =  y ) )
87 fveq1 5728 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( f `  1
)  =  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  1 ) )
8887eqeq1d 2445 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( ( f ` 
1 )  =  x  <-> 
( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
1 )  =  x ) )
8986, 88anbi12d 693 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) )  -> 
( ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x )  <->  ( (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  0
)  =  y  /\  ( ( t  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t )  x.  y
) ) ) ` 
1 )  =  x ) ) )
9089rspcev 3053 . . . . 5  |-  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) )  e.  ( II  Cn  K )  /\  ( ( ( t  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  ( ( t  x.  x
)  +  ( ( 1  -  t )  x.  y ) ) ) `  0 )  =  y  /\  (
( t  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( t  x.  x )  +  ( ( 1  -  t
)  x.  y ) ) ) `  1
)  =  x ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x ) )
9152, 68, 84, 90syl12anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  S  /\  x  e.  S ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) )
9291ralrimivva 2799 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  S  A. x  e.  S  E. f  e.  (
II  Cn  K )
( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) )
93 resttopon 17226 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
9412, 4, 93sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Jt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
951, 94syl5eqel 2521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  S ) )
96 toponuni 16993 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  S
)  ->  S  =  U. K )
9795, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  =  U. K
)
9897raleqdv 2911 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  S  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x )  <->  A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
9997, 98raleqbidv 2917 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  S  A. x  e.  S  E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x )  <->  A. y  e.  U. K A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K
) ( ( f `
 0 )  =  y  /\  ( f `
 1 )  =  x ) ) )
10092, 99mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  U. K A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) )
101 eqid 2437 . . 3  |-  U. K  =  U. K
102101ispcon 24911 . 2  |-  ( K  e. PCon 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. y  e.  U. K A. x  e.  U. K E. f  e.  ( II  Cn  K ) ( ( f ` 
0 )  =  y  /\  ( f ` 
1 )  =  x ) ) )
10310, 100, 102sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  K  e. PCon )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2706   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   U.cuni 4016    e. cmpt 4267   ran crn 4880   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    - cmin 9292   [,]cicc 10920   ↾t crest 13649   TopOpenctopn 13650  ℂfldccnfld 16704   Topctop 16959  TopOnctopon 16960    Cn ccn 17289    tX ctx 17593   IIcii 18906  PConcpcon 24907
This theorem is referenced by:  cvxscon  24931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-fi 7417  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-xneg 10711  df-xadd 10712  df-xmul 10713  df-icc 10924  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-rest 13651  df-topn 13652  df-topgen 13668  df-pt 13669  df-prds 13672  df-xrs 13727  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-qtop 13734  df-imas 13735  df-xps 13737  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-submnd 14740  df-mulg 14816  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-psmet 16695  df-xmet 16696  df-met 16697  df-bl 16698  df-mopn 16699  df-cnfld 16705  df-top 16964  df-bases 16966  df-topon 16967  df-topsp 16968  df-cn 17292  df-cnp 17293  df-tx 17595  df-hmeo 17788  df-xms 18351  df-ms 18352  df-tms 18353  df-ii 18908  df-pcon 24909
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