MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Unicode version

Theorem cxpaddlelem 20502
Description: Lemma for cxpaddle 20503. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddlelem.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddlelem.3  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
cxpaddlelem.4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
cxpaddlelem.5  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^ c  B )
)

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 1re 9023 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpred 10580 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6 resubcl 9297 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
73, 5, 6sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
81, 2, 7recxpcld 20481 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  e.  RR )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
103a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  1  e.  RR )
11 recxpcl 20433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^ c  B )  e.  RR )
12 cxpge0 20441 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  ^ c  B ) )
1311, 12jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B )
) )
141, 2, 5, 13syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B )
) )
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
1716ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  <_  1 )
181ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  e.  RR )
192ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  A )
203a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  1  e.  RR )
21 0le1 9483 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  1 )
23 difrp 10577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
245, 3, 23sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2524adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2625biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  -  B )  e.  RR+ )
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 20485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^ c  ( 1  -  B ) ) ) )
2817, 27mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^ c  ( 1  -  B ) ) )
297recnd 9047 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
30291cxpd 20465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
3130ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  ^ c  ( 1  -  B ) )  =  1 )
3228, 31breqtrd 4177 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
33 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  B  =  1 )
3433oveq2d 6036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  ( 1  -  1 ) )
35 1m1e0 10000 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3634, 35syl6eq 2435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  0 )
3736oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  ( A  ^ c  0 ) )
381recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
4039adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  A  e.  CC )
4140cxp0d 20463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
0 )  =  1 )
4237, 41eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
43 1le1 9582 . . . . . 6  |-  1  <_  1
4442, 43syl6eqbr 4190 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  <_  1
)
45 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
46 leloe 9094 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
475, 3, 46sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
4845, 47mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1
) )
4948adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) )
5032, 44, 49mpjaodan 762 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
51 lemul1a 9796 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( A  ^ c  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B ) ) )  /\  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_ 
1 )  ->  (
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
529, 10, 15, 50, 51syl31anc 1187 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( 1  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
53 ax-1cn 8981 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
545recnd 9047 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
55 npcan 9246 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5653, 54, 55sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5756adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( (
1  -  B )  +  B )  =  1 )
5857oveq2d 6036 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( A  ^ c  1 ) )
591anim1i 552 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
60 elrp 10546 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6159, 60sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
6261rpne0d 10585 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6329adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  -  B )  e.  CC )
6454adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  B  e.  CC )
6539, 62, 63, 64cxpaddd 20475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
6638cxp1d 20464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c 
1 )  =  A )
6766adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  1 )  =  A )
6858, 65, 673eqtr3d 2427 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  A )
6938, 54cxpcld 20466 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c  B )  e.  CC )
7069mulid2d 9039 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  ( A  ^ c  B ) )
7170adantr 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  ( A  ^ c  B ) )
7252, 68, 713brtr3d 4182 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  <_  ( A  ^ c  B
) )
731, 2, 5cxpge0d 20482 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^ c  B )
)
74 breq1 4156 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  ( A  ^ c  B )  <->  A  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
7573, 74syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  A  ->  A  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
7675imp 419 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  A )  ->  A  <_  ( A  ^ c  B ) )
77 0re 9024 . . . 4  |-  0  e.  RR
78 leloe 9094 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
7977, 1, 78sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
802, 79mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  A  \/  0  =  A
) )
8172, 76, 80mpjaodan 762 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^ c  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   RR+crp 10544    ^ c ccxp 20320
This theorem is referenced by:  cxpaddle  20503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-pm 6957  df-ixp 7000  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-fi 7351  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-xneg 10642  df-xadd 10643  df-xmul 10644  df-ioo 10852  df-ioc 10853  df-ico 10854  df-icc 10855  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-shft 11809  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-limsup 12192  df-clim 12209  df-rlim 12210  df-sum 12407  df-ef 12597  df-sin 12599  df-cos 12600  df-pi 12602  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-hom 13480  df-cco 13481  df-rest 13577  df-topn 13578  df-topgen 13594  df-pt 13595  df-prds 13598  df-xrs 13653  df-0g 13654  df-gsum 13655  df-qtop 13660  df-imas 13661  df-xps 13663  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-mulg 14742  df-cntz 15043  df-cmn 15341  df-xmet 16619  df-met 16620  df-bl 16621  df-mopn 16622  df-fbas 16623  df-fg 16624  df-cnfld 16627  df-top 16886  df-bases 16888  df-topon 16889  df-topsp 16890  df-cld 17006  df-ntr 17007  df-cls 17008  df-nei 17085  df-lp 17123  df-perf 17124  df-cn 17213  df-cnp 17214  df-haus 17301  df-tx 17515  df-hmeo 17708  df-fil 17799  df-fm 17891  df-flim 17892  df-flf 17893  df-xms 18259  df-ms 18260  df-tms 18261  df-cncf 18779  df-limc 19620  df-dv 19621  df-log 20321  df-cxp 20322
  Copyright terms: Public domain W3C validator