MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Unicode version

Theorem cxpaddlelem 20091
Description: Lemma for cxpaddle 20092. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddlelem.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddlelem.3  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
cxpaddlelem.4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
cxpaddlelem.5  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^ c  B )
)

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpred 10390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
73, 5, 6sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
81, 2, 7recxpcld 20070 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  e.  RR )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
103a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  1  e.  RR )
11 recxpcl 20022 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^ c  B )  e.  RR )
12 cxpge0 20030 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  ^ c  B ) )
1311, 12jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B )
) )
141, 2, 5, 13syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B )
) )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
1716ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  <_  1 )
181ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  e.  RR )
192ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  A )
203a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  1  e.  RR )
21 0le1 9297 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
2221a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  1 )
23 difrp 10387 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
245, 3, 23sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2625biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  -  B )  e.  RR+ )
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 20074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^ c  ( 1  -  B ) ) ) )
2817, 27mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^ c  ( 1  -  B ) ) )
297recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
30291cxpd 20054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
3130ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  ^ c  ( 1  -  B ) )  =  1 )
3228, 31breqtrd 4047 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
33 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  B  =  1 )
3433oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  ( 1  -  1 ) )
35 1m1e0 9814 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3634, 35syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  0 )
3736oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  ( A  ^ c  0 ) )
381recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
4039adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  A  e.  CC )
4140cxp0d 20052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
0 )  =  1 )
4237, 41eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
43 1le1 9396 . . . . . 6  |-  1  <_  1
4442, 43syl6eqbr 4060 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  <_  1
)
45 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
46 leloe 8908 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
475, 3, 46sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1
) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) )
5032, 44, 49mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
51 lemul1a 9610 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( A  ^ c  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B ) ) )  /\  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_ 
1 )  ->  (
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
529, 10, 15, 50, 51syl31anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( 1  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
53 ax-1cn 8795 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
545recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
55 npcan 9060 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5653, 54, 55sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5756adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( (
1  -  B )  +  B )  =  1 )
5857oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( A  ^ c  1 ) )
591anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
60 elrp 10356 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6159, 60sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
6261rpne0d 10395 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6329adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  -  B )  e.  CC )
6454adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  B  e.  CC )
6539, 62, 63, 64cxpaddd 20064 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
6638cxp1d 20053 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c 
1 )  =  A )
6766adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  1 )  =  A )
6858, 65, 673eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  A )
6938, 54cxpcld 20055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c  B )  e.  CC )
7069mulid2d 8853 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  ( A  ^ c  B ) )
7170adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  ( A  ^ c  B ) )
7252, 68, 713brtr3d 4052 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  <_  ( A  ^ c  B
) )
731, 2, 5cxpge0d 20071 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^ c  B )
)
74 breq1 4026 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  ( A  ^ c  B )  <->  A  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
7573, 74syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  A  ->  A  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
7675imp 418 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  A )  ->  A  <_  ( A  ^ c  B ) )
77 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
78 leloe 8908 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
7977, 1, 78sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
802, 79mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  A  \/  0  =  A
) )
8172, 76, 80mpjaodan 761 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^ c  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   RR+crp 10354    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  cxpaddle  20092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
  Copyright terms: Public domain W3C validator