MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpaddlelem Unicode version

Theorem cxpaddlelem 20107
Description: Lemma for cxpaddle 20108. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpaddlelem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cxpaddlelem.2  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
cxpaddlelem.3  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
cxpaddlelem.4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
cxpaddlelem.5  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
Assertion
Ref Expression
cxpaddlelem  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^ c  B )
)

Proof of Theorem cxpaddlelem
StepHypRef Expression
1 cxpaddlelem.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 cxpaddlelem.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
4 cxpaddlelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
54rpred 10406 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
6 resubcl 9127 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
73, 5, 6sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  RR )
81, 2, 7recxpcld 20086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  e.  RR )
98adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  e.  RR )
103a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  1  e.  RR )
11 recxpcl 20038 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  ^ c  B )  e.  RR )
12 cxpge0 20046 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  ( A  ^ c  B ) )
1311, 12jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A  /\  B  e.  RR )  ->  (
( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B )
) )
141, 2, 5, 13syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B )
) )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
16 cxpaddlelem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  <_  1 )
1716ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  <_  1 )
181ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  A  e.  RR )
192ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  A )
203a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  1  e.  RR )
21 0le1 9313 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  1
2221a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  0  <_  1 )
23 difrp 10403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
245, 3, 23sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2524adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  <->  ( 1  -  B )  e.  RR+ ) )
2625biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  -  B )  e.  RR+ )
2718, 19, 20, 22, 26cxple2d 20090 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  <_  1  <->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^ c  ( 1  -  B ) ) ) )
2817, 27mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  ( 1  ^ c  ( 1  -  B ) ) )
297recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  B
)  e.  CC )
30291cxpd 20070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
3130ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  (
1  ^ c  ( 1  -  B ) )  =  1 )
3228, 31breqtrd 4063 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  <  1 )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
33 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  B  =  1 )
3433oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  ( 1  -  1 ) )
35 1m1e0 9830 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  -  1 )  =  0
3634, 35syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( 1  -  B
)  =  0 )
3736oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  ( A  ^ c  0 ) )
381recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3938adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  CC )
4039adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  ->  A  e.  CC )
4140cxp0d 20068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
0 )  =  1 )
4237, 41eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  =  1 )
43 1le1 9412 . . . . . 6  |-  1  <_  1
4442, 43syl6eqbr 4076 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  0  <  A )  /\  B  =  1 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  <_  1
)
45 cxpaddlelem.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  <_  1 )
46 leloe 8924 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
475, 3, 46sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  <_  1  <->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) ) )
4845, 47mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1
) )
4948adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( B  <  1  \/  B  =  1 ) )
5032, 44, 49mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_  1 )
51 lemul1a 9626 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( ( A  ^ c  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  ^ c  B ) ) )  /\  ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  <_ 
1 )  ->  (
( A  ^ c 
( 1  -  B
) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  <_  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
529, 10, 15, 50, 51syl31anc 1185 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  <_ 
( 1  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
53 ax-1cn 8811 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
545recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
55 npcan 9076 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5653, 54, 55sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  B )  +  B
)  =  1 )
5756adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( (
1  -  B )  +  B )  =  1 )
5857oveq2d 5890 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( A  ^ c  1 ) )
591anim1i 551 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
60 elrp 10372 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR+  <->  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )
6159, 60sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  e.  RR+ )
6261rpne0d 10411 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  =/=  0 )
6329adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  -  B )  e.  CC )
6454adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  B  e.  CC )
6539, 62, 63, 64cxpaddd 20080 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  ( (
1  -  B )  +  B ) )  =  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) ) )
6638cxp1d 20069 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c 
1 )  =  A )
6766adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( A  ^ c  1 )  =  A )
6858, 65, 673eqtr3d 2336 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( ( A  ^ c  ( 1  -  B ) )  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  A )
6938, 54cxpcld 20071 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  ^ c  B )  e.  CC )
7069mulid2d 8869 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  ( A  ^ c  B ) )
7170adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  ( 1  x.  ( A  ^ c  B ) )  =  ( A  ^ c  B ) )
7252, 68, 713brtr3d 4068 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  <  A )  ->  A  <_  ( A  ^ c  B
) )
731, 2, 5cxpge0d 20087 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A  ^ c  B )
)
74 breq1 4042 . . . 4  |-  ( 0  =  A  ->  (
0  <_  ( A  ^ c  B )  <->  A  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
7573, 74syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  =  A  ->  A  <_  ( A  ^ c  B ) ) )
7675imp 418 . 2  |-  ( (
ph  /\  0  =  A )  ->  A  <_  ( A  ^ c  B ) )
77 0re 8854 . . . 4  |-  0  e.  RR
78 leloe 8924 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
7977, 1, 78sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  ( 0  <  A  \/  0  =  A )
) )
802, 79mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  A  \/  0  =  A
) )
8172, 76, 80mpjaodan 761 1  |-  ( ph  ->  A  <_  ( A  ^ c  B )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   RR+crp 10370    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  cxpaddle  20108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator