MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn 20621
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
cxpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn.k  |-  K  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, J, y    x, K, y

Proof of Theorem cxpcn
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 20522 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 447 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
43adantr 452 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
51logdmn0 20523 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  =/=  0 )
7 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
84, 6, 7cxpefd 20595 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^ c 
y )  =  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )
98mpt2eq3ia 6131 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )
10 cxpcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  D )
11 cxpcn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1211cnfldtopon 18809 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
143ssriv 3344 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
15 resttopon 17217 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1613, 14, 15sylancl 644 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1710, 16syl5eqel 2519 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  D ) )
1817, 13cnmpt2nd 17693 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
19 fvres 5737 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2019adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2120mpt2eq3ia 6131 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `  x ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )
2217, 13cnmpt1st 17692 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
231logcn 20530 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
24 ssid 3359 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
2512toponunii 16989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. J
2625restid 13653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
2712, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  CC )  =  J
2827eqcomi 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Jt  CC )
2911, 10, 28cncfcn 18931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( K  Cn  J ) )
3014, 24, 29mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( K  Cn  J )
3123, 30eleqtri 2507 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J ) )
3317, 13, 22, 32cnmpt21f 17696 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `
 x ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
3421, 33syl5eqelr 2520 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
3511mulcn 18889 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3635a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3717, 13, 18, 34, 36cnmpt22f 17699 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( y  x.  ( log `  x ) ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
38 efcn 20351 . . . . . 6  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
3911cncfcn1 18932 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
4038, 39eleqtri 2507 . . . . 5  |-  exp  e.  ( J  Cn  J
)
4140a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  exp  e.  ( J  Cn  J ) )
4217, 13, 37, 41cnmpt21f 17696 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
4342trud 1332 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )
449, 43eqeltri 2505 1  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    \ cdif 3309    C_ wss 3312    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    e. cmpt2 6075   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982    x. cmul 8987    -oocmnf 9110   RR+crp 10604   (,]cioc 10909   expce 12656   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695  TopOnctopon 16951    Cn ccn 17280    tX ctx 17584   -cn->ccncf 18898   logclog 20444    ^ c ccxp 20445
This theorem is referenced by:  cxpcn2  20622  sqrcn  20626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447
  Copyright terms: Public domain W3C validator