MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Unicode version

Theorem cxpcn 20101
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
cxpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn.k  |-  K  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, J, y    x, K, y

Proof of Theorem cxpcn
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 20002 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 446 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
51logdmn0 20003 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
65adantr 451 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  =/=  0 )
7 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
84, 6, 7cxpefd 20075 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^ c 
y )  =  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )
98mpt2eq3ia 5929 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )
10 cxpcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  D )
11 cxpcn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1211cnfldtopon 18308 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
143ssriv 3197 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
15 resttopon 16908 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1613, 14, 15sylancl 643 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1710, 16syl5eqel 2380 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  D ) )
1817, 13cnmpt2nd 17379 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
19 fvres 5558 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2019adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2120mpt2eq3ia 5929 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `  x ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )
2217, 13cnmpt1st 17378 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
231logcn 20010 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
24 ssid 3210 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
2512toponunii 16686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. J
2625restid 13354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
2712, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  CC )  =  J
2827eqcomi 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Jt  CC )
2911, 10, 28cncfcn 18429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( K  Cn  J ) )
3014, 24, 29mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( K  Cn  J )
3123, 30eleqtri 2368 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J )
3231a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J ) )
3317, 13, 22, 32cnmpt21f 17382 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `
 x ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
3421, 33syl5eqelr 2381 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
3511mulcn 18387 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3635a1i 10 . . . . 5  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3717, 13, 18, 34, 36cnmpt22f 17385 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( y  x.  ( log `  x ) ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
38 efcn 19835 . . . . . 6  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
3911cncfcn1 18430 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
4038, 39eleqtri 2368 . . . . 5  |-  exp  e.  ( J  Cn  J
)
4140a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  exp  e.  ( J  Cn  J ) )
4217, 13, 37, 41cnmpt21f 17382 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
4342trud 1314 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )
449, 43eqeltri 2366 1  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165    |` cres 4707   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753    x. cmul 8758    -oocmnf 8881   RR+crp 10370   (,]cioc 10673   expce 12359   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342  ℂfldccnfld 16393  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    tX ctx 17271   -cn->ccncf 18396   logclog 19928    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  cxpcn2  20102  sqrcn  20106
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator