MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn Unicode version

Theorem cxpcn 20497
Description: Domain of continuity of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 1-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn.d  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
cxpcn.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn.k  |-  K  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, J, y    x, K, y

Proof of Theorem cxpcn
StepHypRef Expression
1 cxpcn.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( CC  \  (  -oo (,] 0 ) )
21ellogdm 20398 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D  <->  ( x  e.  CC  /\  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR+ ) ) )
32simplbi 447 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  e.  CC )
43adantr 452 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
51logdmn0 20399 . . . . 5  |-  ( x  e.  D  ->  x  =/=  0 )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  x  =/=  0 )
7 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
84, 6, 7cxpefd 20471 . . 3  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^ c 
y )  =  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )
98mpt2eq3ia 6079 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )
10 cxpcn.k . . . . 5  |-  K  =  ( Jt  D )
11 cxpcn.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
1211cnfldtopon 18689 . . . . . . 7  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1312a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
143ssriv 3296 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
15 resttopon 17148 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1613, 14, 15sylancl 644 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
1710, 16syl5eqel 2472 . . . 4  |-  (  T. 
->  K  e.  (TopOn `  D ) )
1817, 13cnmpt2nd 17623 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  y )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J ) )
19 fvres 5686 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  D  ->  (
( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2019adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( log  |`  D ) `
 x )  =  ( log `  x
) )
2120mpt2eq3ia 6079 . . . . . 6  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `  x ) )  =  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )
2217, 13cnmpt1st 17622 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  x )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  K ) )
231logcn 20406 . . . . . . . . 9  |-  ( log  |`  D )  e.  ( D -cn-> CC )
24 ssid 3311 . . . . . . . . . 10  |-  CC  C_  CC
2512toponunii 16921 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  CC  =  U. J
2625restid 13589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( Jt  CC )  =  J )
2712, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  CC )  =  J
2827eqcomi 2392 . . . . . . . . . . 11  |-  J  =  ( Jt  CC )
2911, 10, 28cncfcn 18811 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( D -cn-> CC )  =  ( K  Cn  J ) )
3014, 24, 29mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( D
-cn-> CC )  =  ( K  Cn  J )
3123, 30eleqtri 2460 . . . . . . . 8  |-  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J )
3231a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( log  |`  D )  e.  ( K  Cn  J ) )
3317, 13, 22, 32cnmpt21f 17626 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( ( log  |`  D ) `
 x ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
3421, 33syl5eqelr 2473 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( log `  x ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
3511mulcn 18769 . . . . . 6  |-  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J
)
3635a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  x.  e.  ( ( J  tX  J )  Cn  J ) )
3717, 13, 18, 34, 36cnmpt22f 17629 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( y  x.  ( log `  x ) ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J ) )
38 efcn 20227 . . . . . 6  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
3911cncfcn1 18812 . . . . . 6  |-  ( CC
-cn-> CC )  =  ( J  Cn  J )
4038, 39eleqtri 2460 . . . . 5  |-  exp  e.  ( J  Cn  J
)
4140a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  exp  e.  ( J  Cn  J ) )
4217, 13, 37, 41cnmpt21f 17626 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x
) ) ) )  e.  ( ( K 
tX  J )  Cn  J ) )
4342trud 1329 . 2  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( exp `  ( y  x.  ( log `  x ) ) ) )  e.  ( ( K  tX  J
)  Cn  J )
449, 43eqeltri 2458 1  |-  ( x  e.  D ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  J )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551    \ cdif 3261    C_ wss 3264    |` cres 4821   ` cfv 5395  (class class class)co 6021    e. cmpt2 6023   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924    x. cmul 8929    -oocmnf 9052   RR+crp 10545   (,]cioc 10850   expce 12592   ↾t crest 13576   TopOpenctopn 13577  ℂfldccnfld 16627  TopOnctopon 16883    Cn ccn 17211    tX ctx 17514   -cn->ccncf 18778   logclog 20320    ^ c ccxp 20321
This theorem is referenced by:  cxpcn2  20498  sqrcn  20502
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-tan 12602  df-pi 12603  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323
  Copyright terms: Public domain W3C validator