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Theorem cxpcn3 20088
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, D, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables  a 
b  d  e  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8838 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 10455 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10730 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 8794 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3188 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
76sseli 3176 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
8 cxpcn3.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
9 cnvimass 5033 . . . . . . . 8  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
10 ref 11597 . . . . . . . . 9  |-  Re : CC
--> RR
1110fdmi 5394 . . . . . . . 8  |-  dom  Re  =  CC
129, 11sseqtri 3210 . . . . . . 7  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
138, 12eqsstri 3208 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
1413sseli 3176 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  CC )
15 cxpcl 20021 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^ c 
y )  e.  CC )
167, 14, 15syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  ^ c  y )  e.  CC )
1716rgen2 2639 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^ c 
y )  e.  CC
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )
1918fmpt2 6191 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^ c  y )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC )
2017, 19mpbi 199 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC
21 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
23 rpre 10360 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
24 rpge0 10366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
25 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
2623, 24, 25sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2726ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )
2827, 6sstri 3188 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  C_  CC
29 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  CC )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
3022, 28, 29mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )
3130toponunii 16670 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  =  U. ( Jt  RR+ )
3231restid 13338 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt 
RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  ->  (
( Jt  RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ ) )
3330, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
3433eqcomi 2287 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( ( Jt  RR+ )t 
RR+ )
3530a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
36 ssid 3197 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR+
3736a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  RR+  C_  RR+ )
38 cxpcn3.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( Jt  D )
3922a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
4013a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  D  C_  CC )
41 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
4221, 41cxpcn2 20086 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J )
4342a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J ) )
4434, 35, 37, 38, 39, 40, 43cnmpt2res 17371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  Cn  J ) )
45 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( u  e.  RR  /\  0  <_  u ) )
4645simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  u  e.  RR )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  u  e.  RR )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR )
49 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  0  <  u )
5048, 49elrpd 10388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR+ )
51 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  v  e.  D )
52 opelxp 4719 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D
)  <->  ( u  e.  RR+  /\  v  e.  D
) )
5350, 51, 52sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )
54 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
5522, 13, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
5638, 55eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11  |-  L  e.  (TopOn `  D )
57 txtopon 17286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) ) )
5830, 56, 57mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) )
5958toponunii 16670 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  =  U. ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
6059cncnpi 17007 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  Cn  J
)  /\  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  e.  ( ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
6144, 53, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
62 ssid 3197 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  D
63 resmpt2 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( (
RR+  C_  ( 0 [,) 
+oo )  /\  D  C_  D )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) )
6427, 62, 63mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )
65 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
66 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
6722, 6, 66mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )
6865, 67eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )
69 ioorp 10727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
70 iooretop 18275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
7169, 70eqeltrri 2354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
72 retop 18270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
73 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V
74 restopnb 16906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V )  /\  ( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  RR+  C_  ( 0 [,)  +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )
)  ->  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )  ->  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
7671, 27, 36, 75mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7771, 76mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,)  +oo ) )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
7921, 78rerest 18310 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( Jt  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
804, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,)  +oo ) )
8165, 80eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,)  +oo ) )
8277, 81eleqtrri 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  e.  K
83 toponmax 16666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  e.  L )
8456, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  L
85 txrest 17325 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  =  ( ( Kt  RR+ )  tX  ( Lt  D ) ) )
8668, 56, 82, 84, 85mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )
8765oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )
88 restabs 16896 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )  /\  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V )  ->  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
8922, 27, 73, 88mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
9087, 89eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
9156toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  = 
U. L
9291restid 13338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  ( Lt  D
)  =  L )
9356, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lt  D )  =  L
9490, 93oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )  =  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
9586, 94eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)
9695oveq1i 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
)  =  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J )
9796fveq1i 5526 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  =  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
9864, 97eleq12i 2348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
9961, 98sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
100 txtopon 17286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) ) )
10168, 56, 100mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
tX  L )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )
102101topontopi 16669 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  L )  e. 
Top
103102a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( K  tX  L )  e.  Top )
104 xpss1 4795 . . . . . . . 8  |-  ( RR+  C_  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )
10527, 104mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( RR+  X.  D )  C_  (
( 0 [,)  +oo )  X.  D ) )
106 txopn 17297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( RR+  X.  D
)  e.  ( K 
tX  L ) )
10768, 56, 82, 84, 106mp4an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L )
108 isopn3i 16819 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L ) )  -> 
( ( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
)
109102, 107, 108mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( K 
tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
11053, 109syl6eleqr 2374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  (
( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) ) )
11120a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC )
11268topontopi 16669 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
Top
11356topontopi 16669 . . . . . . . . 9  |-  L  e. 
Top
11468toponunii 16670 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  =  U. K
115112, 113, 114, 91txunii 17288 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D )  =  U. ( K  tX  L )
11622toponunii 16670 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. J
117115, 116cnprest 17017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( ( int `  ( K  tX  L
) ) `  ( RR+  X.  D ) )  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. )  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) ) )
118103, 105, 110, 111, 117syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. )  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) ) )
11999, 118mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) )
12020a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC )
121 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 )  =  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )
122 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  / 
2 )  <_  (
e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )  =  if ( ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )  <_ 
( e  ^ c 
( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )
1238, 21, 65, 38, 121, 122cxpcn3lem 20087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  D  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) )
124123ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) )
125 0le0 9827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  0
126 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1271, 125, 126mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
128127a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
129 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
130128, 129ovresd 5988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) a )  =  ( 0 ( abs  o.  -  ) a ) )
131 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  CC
1326, 129sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  CC )
133 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
134133cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
135131, 132, 134sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
136 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u a  =  ( 0  -  a )
137136fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) )
138132absnegd 11931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  a
) )
139137, 138syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  a
) )
140130, 135, 1393eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) a )  =  ( abs `  a ) )
141140breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  <->  ( abs `  a
)  <  d )
)
142 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  D )
143 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  D )
144142, 143ovresd 5988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( v ( abs  o.  -  ) b ) )
14513, 142sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  CC )
14613, 143sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  CC )
147133cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( v ( abs 
o.  -  ) b
)  =  ( abs `  ( v  -  b
) ) )
148145, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( abs  o.  -  ) b )  =  ( abs `  (
v  -  b ) ) )
149144, 148eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( abs `  ( v  -  b ) ) )
150149breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d  <->  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) )
151141, 150anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  /\  ( v
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  <  d
)  <->  ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d ) ) )
152 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  v )  ->  ( x  ^ c  y )  =  ( 0  ^ c 
v ) )
153 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  ^ c  v )  e.  _V
154152, 18, 153ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  ( 0  ^ c  v ) )
155127, 142, 154sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  ( 0  ^ c  v ) )
1568eleq2i 2347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  <->  v  e.  ( `' Re " RR+ )
)
157 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
158 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
v  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re `  v )  e.  RR+ ) ) )
15910, 157, 158mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
160156, 159bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
161160simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  CC )
162160simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  e.  RR+ )
163162rpne0d 10395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  =/=  0 )
164 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  ( Re ` 
0 ) )
165 re0 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re
`  0 )  =  0
166164, 165syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  0 )
167166necon3i 2485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  v )  =/=  0  ->  v  =/=  0 )
168163, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  =/=  0 )
169161, 1680cxpd 20057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  D  ->  (
0  ^ c  v )  =  0 )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0  ^ c  v )  =  0 )
171155, 170eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  0 )
172 oveq12 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  ^ c 
y )  =  ( a  ^ c  b ) )
173 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  ^ c  b )  e.  _V
174172, 18, 173ovmpt2a 5978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b )  =  ( a  ^ c  b ) )
175174adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b )  =  ( a  ^ c  b ) )
176171, 175oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  =  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^ c 
b ) ) )
177132, 146cxpcld 20055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a  ^ c  b )  e.  CC )
178133cnmetdval 18280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( a  ^ c 
b )  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^ c 
b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^ c  b ) ) ) )
179131, 177, 178sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  ( 0  -  (
a  ^ c  b ) ) ) )
180 df-neg 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u (
a  ^ c  b )  =  ( 0  -  ( a  ^ c  b ) )
181180fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  -u ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^ c  b ) ) )
182177absnegd 11931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
183181, 182syl5eqr 2329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( a  ^ c 
b ) ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
184176, 179, 1833eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
185184breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e  <->  ( abs `  ( a  ^ c 
b ) )  < 
e ) )
186151, 185imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  ( (
( abs `  a
)  <  d  /\  ( abs `  ( v  -  b ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
1871862ralbidva 2583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. a  e.  (
0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  /\  ( v
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  <  d
)  ->  ( (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
188187rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
189188ralbidv 2563 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
190124, 189mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) )
191 cnxmet 18282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
192191a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
193 xmetres2 17925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  e.  ( * Met `  (
0 [,)  +oo ) ) )
194192, 6, 193sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
195 xmetres2 17925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D ) )
196192, 13, 195sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
) )
197127a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
198 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  D )
199 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )
20021cnfldtopn 18291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
201 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
202199, 200, 201metrest 18070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )  -> 
( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) ) )
203191, 6, 202mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
20465, 203eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
205 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
206 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
207205, 200, 206metrest 18070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Jt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
208191, 13, 207mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  D )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
20938, 208eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )
210204, 209, 200txmetcnp 18093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  (
0  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. 0 ,  v >.
)  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
211194, 196, 192, 197, 198, 210syl32anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. 0 ,  v >. )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
212120, 190, 211mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. 0 ,  v
>. ) )
213212ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. 0 ,  v
>. ) )
214 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  0  =  u )
215214opeq1d 3802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  <. 0 ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
216215fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
217213, 216eleqtrd 2359 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
21845simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  u )
219218adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  0  <_  u )
220 leloe 8908 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
2211, 47, 220sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
222219, 221mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0  <  u  \/  0  =  u )
)
223119, 217, 222mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
224223rgen2 2639 . . 3  |-  A. u  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )
225 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
226225eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z )  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) ) )
227226ralxp 4827 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z )  <->  A. u  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
228224, 227mpbir 200 . 2  |-  A. z  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )
229 cncnp 17009 . . 3  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z ) ) ) )
230101, 22, 229mp2an 653 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z ) ) )
23120, 228, 230mpbir2an 886 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ifcif 3565   <.cop 3643   class class class wbr 4023    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   2c2 9795   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   Recre 11582   abscabs 11719   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326   topGenctg 13342   * Metcxmt 16369   MetOpencmopn 16372  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754    Cn ccn 16954    CnP ccnp 16955    tX ctx 17255    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  resqrcn  20089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-tan 12353  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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