Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpcn3 Structured version   Unicode version

Theorem cxpcn3 20624
 Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d
cxpcn3.j fld
cxpcn3.k t
cxpcn3.l t
Assertion
Ref Expression
cxpcn3
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9083 . . . . . . . 8
2 pnfxr 10705 . . . . . . . 8
3 icossre 10983 . . . . . . . 8
41, 2, 3mp2an 654 . . . . . . 7
5 ax-resscn 9039 . . . . . . 7
64, 5sstri 3349 . . . . . 6
76sseli 3336 . . . . 5
8 cxpcn3.d . . . . . . 7
9 cnvimass 5216 . . . . . . . 8
10 ref 11909 . . . . . . . . 9
1110fdmi 5588 . . . . . . . 8
129, 11sseqtri 3372 . . . . . . 7
138, 12eqsstri 3370 . . . . . 6
1413sseli 3336 . . . . 5
15 cxpcl 20557 . . . . 5
167, 14, 15syl2an 464 . . . 4
1716rgen2 2794 . . 3
18 eqid 2435 . . . 4
1918fmpt2 6410 . . 3
2017, 19mpbi 200 . 2
21 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13 fld
2221cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
23 rpre 10610 . . . . . . . . . . . . . . 15
24 rpge0 10616 . . . . . . . . . . . . . . 15
25 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . . . 15
2623, 24, 25sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . 14
2726ssriv 3344 . . . . . . . . . . . . 13
2827, 6sstri 3349 . . . . . . . . . . . 12
29 resttopon 17217 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t TopOn
3022, 28, 29mp2an 654 . . . . . . . . . . 11 t TopOn
3130toponunii 16989 . . . . . . . . . . . 12 t
3231restid 13653 . . . . . . . . . . 11 t TopOn t t t
3330, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10 t t t
3433eqcomi 2439 . . . . . . . . 9 t t t
3530a1i 11 . . . . . . . . 9 t TopOn
36 ssid 3359 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
38 cxpcn3.l . . . . . . . . 9 t
3922a1i 11 . . . . . . . . 9 TopOn
4013a1i 11 . . . . . . . . 9
41 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 t t
4221, 41cxpcn2 20622 . . . . . . . . . 10 t
4342a1i 11 . . . . . . . . 9 t
4434, 35, 37, 38, 39, 40, 43cnmpt2res 17701 . . . . . . . 8 t
45 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . 13
4645simplbi 447 . . . . . . . . . . . 12
4746adantr 452 . . . . . . . . . . 11
4847adantr 452 . . . . . . . . . 10
49 simpr 448 . . . . . . . . . 10
5048, 49elrpd 10638 . . . . . . . . 9
51 simplr 732 . . . . . . . . 9
52 opelxp 4900 . . . . . . . . 9
5350, 51, 52sylanbrc 646 . . . . . . . 8
54 resttopon 17217 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t TopOn
5522, 13, 54mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12 t TopOn
5638, 55eqeltri 2505 . . . . . . . . . . 11 TopOn
57 txtopon 17615 . . . . . . . . . . 11 t TopOn TopOn t TopOn
5830, 56, 57mp2an 654 . . . . . . . . . 10 t TopOn
5958toponunii 16989 . . . . . . . . 9 t
6059cncnpi 17334 . . . . . . . 8 t t
6144, 53, 60syl2anc 643 . . . . . . 7 t
62 ssid 3359 . . . . . . . 8
63 resmpt2 6160 . . . . . . . 8
6427, 62, 63mp2an 654 . . . . . . 7
65 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . 12 t
66 resttopon 17217 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t TopOn
6722, 6, 66mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12 t TopOn
6865, 67eqeltri 2505 . . . . . . . . . . 11 TopOn
69 ioorp 10980 . . . . . . . . . . . . . 14
70 iooretop 18792 . . . . . . . . . . . . . 14
7169, 70eqeltrri 2506 . . . . . . . . . . . . 13
72 retop 18787 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 restopnb 17231 . . . . . . . . . . . . . . 15 t
7572, 73, 74mpanl12 664 . . . . . . . . . . . . . 14 t
7671, 27, 36, 75mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . 13 t
7771, 76mpbi 200 . . . . . . . . . . . 12 t
78 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15
7921, 78rerest 18827 . . . . . . . . . . . . . 14 t t
804, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13 t t
8165, 80eqtri 2455 . . . . . . . . . . . 12 t
8277, 81eleqtrri 2508 . . . . . . . . . . 11
83 toponmax 16985 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
8456, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
85 txrest 17655 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn t t t
8668, 56, 82, 84, 85mp4an 655 . . . . . . . . . 10 t t t
8765oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . 12 t t t
88 restabs 17221 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn t t t
8922, 27, 73, 88mp3an 1279 . . . . . . . . . . . 12 t t t
9087, 89eqtri 2455 . . . . . . . . . . 11 t t
9156toponunii 16989 . . . . . . . . . . . . 13
9291restid 13653 . . . . . . . . . . . 12 TopOn t
9356, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11 t
9490, 93oveq12i 6085 . . . . . . . . . 10 t t t
9586, 94eqtri 2455 . . . . . . . . 9 t t
9695oveq1i 6083 . . . . . . . 8 t t
9796fveq1i 5721 . . . . . . 7 t t
9861, 64, 973eltr4g 2518 . . . . . 6 t
99 txtopon 17615 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn TopOn
10068, 56, 99mp2an 654 . . . . . . . . 9 TopOn
101100topontopi 16988 . . . . . . . 8
102101a1i 11 . . . . . . 7
103 xpss1 4976 . . . . . . . 8
10427, 103mp1i 12 . . . . . . 7
105 txopn 17626 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
10668, 56, 82, 84, 105mp4an 655 . . . . . . . . 9
107 isopn3i 17138 . . . . . . . . 9
108101, 106, 107mp2an 654 . . . . . . . 8
10953, 108syl6eleqr 2526 . . . . . . 7
11020a1i 11 . . . . . . 7
11168topontopi 16988 . . . . . . . . 9
11256topontopi 16988 . . . . . . . . 9
11368toponunii 16989 . . . . . . . . 9
114111, 112, 113, 91txunii 17617 . . . . . . . 8
11522toponunii 16989 . . . . . . . 8
116114, 115cnprest 17345 . . . . . . 7 t
117102, 104, 109, 110, 116syl22anc 1185 . . . . . 6 t
11898, 117mpbird 224 . . . . 5
11920a1i 11 . . . . . . . 8
120 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
121 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
1228, 21, 65, 38, 120, 121cxpcn3lem 20623 . . . . . . . . . 10
123122ralrimiva 2781 . . . . . . . . 9
124 0le0 10073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125 elrege0 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1261, 124, 125mpbir2an 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
127126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
128 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
129127, 128ovresd 6206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
130 0cn 9076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1316, 128sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
133132cnmetdval 18797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134130, 131, 133sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135 df-neg 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
136135fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
137131absnegd 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138136, 137syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139129, 134, 1383eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
140139breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14
141 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
142 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143141, 142ovresd 6206 . . . . . . . . . . . . . . . 16
14413, 141sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
14513, 142sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146132cnmetdval 18797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147144, 145, 146syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
148143, 147eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15
149148breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . . 14
150140, 149anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13
151 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153151, 18, 152ovmpt2a 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154126, 141, 153sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1558eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
156 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
157 elpreima 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
15810, 156, 157mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
159155, 158bitri 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
160159simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
161159simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
162161rpne0d 10645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
163 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
164 re0 11949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
165163, 164syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
166165necon3i 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
167162, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
168160, 1670cxpd 20593 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
169168adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
170154, 169eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
171 oveq12 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
172 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
173171, 18, 172ovmpt2a 6196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174173adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16
175170, 174oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15
176131, 145cxpcld 20591 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177132cnmetdval 18797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
178130, 176, 177sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
179 df-neg 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
180179fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . . . 16
181176absnegd 12243 . . . . . . . . . . . . . . . 16
182180, 181syl5eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15
183175, 178, 1823eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
184183breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13
185150, 184imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12
1861852ralbidva 2737 . . . . . . . . . . 11
187186rexbidv 2718 . . . . . . . . . 10
188187ralbidv 2717 . . . . . . . . 9
189123, 188mpbird 224 . . . . . . . 8
190 cnxmet 18799 . . . . . . . . . . 11
191190a1i 11 . . . . . . . . . 10
192 xmetres2 18383 . . . . . . . . . 10
193191, 6, 192sylancl 644 . . . . . . . . 9
194 xmetres2 18383 . . . . . . . . . 10
195191, 13, 194sylancl 644 . . . . . . . . 9
196126a1i 11 . . . . . . . . 9
197 id 20 . . . . . . . . 9
198 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
19921cnfldtopn 18808 . . . . . . . . . . . . 13
200 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
201198, 199, 200metrest 18546 . . . . . . . . . . . 12 t
202190, 6, 201mp2an 654 . . . . . . . . . . 11 t
20365, 202eqtri 2455 . . . . . . . . . 10
204 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
205 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13
206204, 199, 205metrest 18546 . . . . . . . . . . . 12 t
207190, 13, 206mp2an 654 . . . . . . . . . . 11 t
20838, 207eqtri 2455 . . . . . . . . . 10
209203, 208, 199txmetcnp 18569 . . . . . . . . 9
210193, 195, 191, 196, 197, 209syl32anc 1192 . . . . . . . 8
211119, 189, 210mpbir2and 889 . . . . . . 7
212211ad2antlr 708 . . . . . 6
213 simpr 448 . . . . . . . 8
214213opeq1d 3982 . . . . . . 7
215214fveq2d 5724 . . . . . 6
216212, 215eleqtrd 2511 . . . . 5
21745simprbi 451 . . . . . . 7
218217adantr 452 . . . . . 6
219 leloe 9153 . . . . . . 7
2201, 47, 219sylancr 645 . . . . . 6
221218, 220mpbid 202 . . . . 5
222118, 216, 221mpjaodan 762 . . . 4
223222rgen2 2794 . . 3
224 fveq2 5720 . . . . 5
225224eleq2d 2502 . . . 4
226225ralxp 5008 . . 3
227223, 226mpbir 201 . 2
228 cncnp 17336 . . 3 TopOn TopOn
229100, 22, 228mp2an 654 . 2
23020, 227, 229mpbir2an 887 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698  cvv 2948   wss 3312  cif 3731  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868  ccnv 4869   cdm 4870   crn 4871   cres 4872  cima 4873   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  c2 10041  crp 10604  cioo 10908  cico 10910  cre 11894  cabs 12031   ↾t crest 13640  ctopn 13641  ctg 13657  cxmt 16678  cmopn 16683  ℂfldccnfld 16695  ctop 16950  TopOnctopon 16951  cnt 17073   ccn 17280   ccnp 17281   ctx 17584   ccxp 20445 This theorem is referenced by:  resqrcn  20625 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-tan 12666  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447
 Copyright terms: Public domain W3C validator