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Theorem cxpcn3 20104
Description: Extend continuity of the complex power function to a base of zero, as long as the exponent has strictly positive real part. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cxpcn3.d  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
cxpcn3.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cxpcn3.k  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
cxpcn3.l  |-  L  =  ( Jt  D )
Assertion
Ref Expression
cxpcn3  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, D, y
Allowed substitution hints:    K( x, y)    L( x, y)

Proof of Theorem cxpcn3
Dummy variables  a 
b  d  e  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 8854 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
2 pnfxr 10471 . . . . . . . 8  |-  +oo  e.  RR*
3 icossre 10746 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
41, 2, 3mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
5 ax-resscn 8810 . . . . . . 7  |-  RR  C_  CC
64, 5sstri 3201 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC
76sseli 3189 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  CC )
8 cxpcn3.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( `' Re " RR+ )
9 cnvimass 5049 . . . . . . . 8  |-  ( `' Re " RR+ )  C_ 
dom  Re
10 ref 11613 . . . . . . . . 9  |-  Re : CC
--> RR
1110fdmi 5410 . . . . . . . 8  |-  dom  Re  =  CC
129, 11sseqtri 3223 . . . . . . 7  |-  ( `' Re " RR+ )  C_  CC
138, 12eqsstri 3221 . . . . . 6  |-  D  C_  CC
1413sseli 3189 . . . . 5  |-  ( y  e.  D  ->  y  e.  CC )
15 cxpcl 20037 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  ^ c 
y )  e.  CC )
167, 14, 15syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  y  e.  D )  ->  (
x  ^ c  y )  e.  CC )
1716rgen2 2652 . . 3  |-  A. x  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^ c 
y )  e.  CC
18 eqid 2296 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )
1918fmpt2 6207 . . 3  |-  ( A. x  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. y  e.  D  ( x  ^ c  y )  e.  CC  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC )
2017, 19mpbi 199 . 2  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC
21 cxpcn3.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2221cnfldtopon 18308 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
23 rpre 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
24 rpge0 10382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  0  <_  x )
25 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
2623, 24, 25sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2726ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )
2827, 6sstri 3201 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  C_  CC
29 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  CC )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
3022, 28, 29mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )
3130toponunii 16686 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  =  U. ( Jt  RR+ )
3231restid 13354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Jt 
RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  ->  (
( Jt  RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ ) )
3330, 32ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
3433eqcomi 2300 . . . . . . . . 9  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( ( Jt  RR+ )t 
RR+ )
3530a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ ) )
36 ssid 3210 . . . . . . . . . 10  |-  RR+  C_  RR+
3736a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  RR+  C_  RR+ )
38 cxpcn3.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( Jt  D )
3922a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  J  e.  (TopOn `  CC ) )
4013a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  D  C_  CC )
41 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
4221, 41cxpcn2 20102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J )
4342a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  CC  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  J
)  Cn  J ) )
4434, 35, 37, 38, 39, 40, 43cnmpt2res 17387 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  Cn  J ) )
45 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( u  e.  RR  /\  0  <_  u ) )
4645simplbi 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  u  e.  RR )
4746adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  u  e.  RR )
4847adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR )
49 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  0  <  u )
5048, 49elrpd 10404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  u  e.  RR+ )
51 simplr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  v  e.  D )
52 opelxp 4735 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D
)  <->  ( u  e.  RR+  /\  v  e.  D
) )
5350, 51, 52sylanbrc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )
54 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  D  C_  CC )  ->  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D ) )
5522, 13, 54mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Jt  D )  e.  (TopOn `  D )
5638, 55eqeltri 2366 . . . . . . . . . . 11  |-  L  e.  (TopOn `  D )
57 txtopon 17302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Jt  RR+ )  e.  (TopOn `  RR+ )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) ) )
5830, 56, 57mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( RR+  X.  D ) )
5958toponunii 16686 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  =  U. ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
6059cncnpi 17023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  Cn  J
)  /\  <. u ,  v >.  e.  ( RR+  X.  D ) )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  e.  ( ( ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
6144, 53, 60syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
62 ssid 3210 . . . . . . . . 9  |-  D  C_  D
63 resmpt2 5958 . . . . . . . . 9  |-  ( (
RR+  C_  ( 0 [,) 
+oo )  /\  D  C_  D )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) )
6427, 62, 63mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  =  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )
65 cxpcn3.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )
66 resttopon 16908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  CC )  ->  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
6722, 6, 66mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )
6865, 67eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )
69 ioorp 10743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
70 iooretop 18291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 (,)  +oo )  e.  (
topGen `  ran  (,) )
7169, 70eqeltrri 2367 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )
72 retop 18286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
73 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V
74 restopnb 16922 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V )  /\  ( RR+  e.  ( topGen `
 ran  (,) )  /\  RR+  C_  ( 0 [,)  +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )
)  ->  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) )
7572, 73, 74mpanl12 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
RR+  e.  ( topGen ` 
ran  (,) )  /\  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )  /\  RR+  C_  RR+ )  ->  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
7671, 27, 36, 75mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR+  e.  ( topGen `  ran  (,) )  <->  RR+ 
e.  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7771, 76mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR+  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,)  +oo ) )
78 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
7921, 78rerest 18326 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  C_  RR  ->  ( Jt  (
0 [,)  +oo ) )  =  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,) 
+oo ) ) )
804, 79ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,)  +oo ) )
8165, 80eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,)  +oo ) )
8277, 81eleqtrri 2369 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR+  e.  K
83 toponmax 16682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  D  e.  L )
8456, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  D  e.  L
85 txrest 17341 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  =  ( ( Kt  RR+ )  tX  ( Lt  D ) ) )
8668, 56, 82, 84, 85mp4an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )
8765oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )
88 restabs 16912 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  RR+  C_  (
0 [,)  +oo )  /\  ( 0 [,)  +oo )  e.  _V )  ->  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
)
8922, 27, 73, 88mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Jt  ( 0 [,)  +oo ) )t  RR+ )  =  ( Jt 
RR+ )
9087, 89eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Kt  RR+ )  =  ( Jt  RR+ )
9156toponunii 16686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  D  = 
U. L
9291restid 13354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  (TopOn `  D
)  ->  ( Lt  D
)  =  L )
9356, 92ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lt  D )  =  L
9490, 93oveq12i 5886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Kt 
RR+ )  tX  ( Lt  D ) )  =  ( ( Jt  RR+ )  tX  L )
9586, 94eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  =  ( ( Jt 
RR+ )  tX  L
)
9695oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
)  =  ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J )
9796fveq1i 5542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  =  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L )  CnP 
J ) `  <. u ,  v >. )
9864, 97eleq12i 2361 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  ( RR+  X.  D
) )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )  <->  ( x  e.  RR+ ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( ( Jt  RR+ )  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
9961, 98sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
100 txtopon 17302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) ) )
10168, 56, 100mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( K 
tX  L )  e.  (TopOn `  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )
102101topontopi 16685 . . . . . . . 8  |-  ( K 
tX  L )  e. 
Top
103102a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( K  tX  L )  e.  Top )
104 xpss1 4811 . . . . . . . 8  |-  ( RR+  C_  ( 0 [,)  +oo )  ->  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )
10527, 104mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( RR+  X.  D )  C_  (
( 0 [,)  +oo )  X.  D ) )
106 txopn 17313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  (TopOn `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  L  e.  (TopOn `  D )
)  /\  ( RR+  e.  K  /\  D  e.  L ) )  -> 
( RR+  X.  D
)  e.  ( K 
tX  L ) )
10768, 56, 82, 84, 106mp4an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L )
108 isopn3i 16835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D )  e.  ( K  tX  L ) )  -> 
( ( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
)
109102, 107, 108mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( int `  ( K 
tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) )  =  (
RR+  X.  D )
11053, 109syl6eleqr 2387 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  <. u ,  v >.  e.  (
( int `  ( K  tX  L ) ) `
 ( RR+  X.  D
) ) )
11120a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC )
11268topontopi 16685 . . . . . . . . 9  |-  K  e. 
Top
11356topontopi 16685 . . . . . . . . 9  |-  L  e. 
Top
11468toponunii 16686 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  =  U. K
115112, 113, 114, 91txunii 17304 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D )  =  U. ( K  tX  L )
11622toponunii 16686 . . . . . . . 8  |-  CC  =  U. J
117115, 116cnprest 17033 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  tX  L )  e.  Top  /\  ( RR+  X.  D
)  C_  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) )  /\  ( <. u ,  v
>.  e.  ( ( int `  ( K  tX  L
) ) `  ( RR+  X.  D ) )  /\  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC ) )  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. )  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) ) )
118103, 105, 110, 111, 117syl22anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. )  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  |`  ( RR+  X.  D ) )  e.  ( ( ( ( K  tX  L )t  (
RR+  X.  D )
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) ) )
11999, 118mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  <  u )  ->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) )
12020a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC )
121 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 )  =  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )
122 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  / 
2 )  <_  (
e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )  =  if ( ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 )  <_ 
( e  ^ c 
( 1  /  ( if ( ( Re `  v )  <_  1 ,  ( Re `  v ) ,  1 )  /  2 ) ) ) ,  ( if ( ( Re
`  v )  <_ 
1 ,  ( Re
`  v ) ,  1 )  /  2
) ,  ( e  ^ c  ( 1  /  ( if ( ( Re `  v
)  <_  1 , 
( Re `  v
) ,  1 )  /  2 ) ) ) )
1238, 21, 65, 38, 121, 122cxpcn3lem 20103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( v  e.  D  /\  e  e.  RR+ )  ->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) )
124123ralrimiva 2639 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) )
125 0le0 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <_  0
126 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
1271, 125, 126mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
128127a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
129 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
130128, 129ovresd 6004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) a )  =  ( 0 ( abs  o.  -  ) a ) )
131 0cn 8847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  CC
1326, 129sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  a  e.  CC )
133 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
134133cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  a  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) a
)  =  ( abs `  ( 0  -  a
) ) )
135131, 132, 134sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) ) )
136 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u a  =  ( 0  -  a )
137136fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  (
0  -  a ) )
138132absnegd 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u a )  =  ( abs `  a
) )
139137, 138syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  a ) )  =  ( abs `  a
) )
140130, 135, 1393eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) ) a )  =  ( abs `  a ) )
141140breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  <->  ( abs `  a
)  <  d )
)
142 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  D )
143 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  D )
144142, 143ovresd 6004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( v ( abs  o.  -  ) b ) )
14513, 142sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  v  e.  CC )
14613, 143sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  b  e.  CC )
147133cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( v ( abs 
o.  -  ) b
)  =  ( abs `  ( v  -  b
) ) )
148145, 146, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( abs  o.  -  ) b )  =  ( abs `  (
v  -  b ) ) )
149144, 148eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
v ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  =  ( abs `  ( v  -  b ) ) )
150149breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d  <->  ( abs `  ( v  -  b
) )  <  d
) )
151141, 150anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  /\  ( v
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  <  d
)  <->  ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d ) ) )
152 oveq12 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  v )  ->  ( x  ^ c  y )  =  ( 0  ^ c 
v ) )
153 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  ^ c  v )  e.  _V
154152, 18, 153ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  ( 0  ^ c  v ) )
155127, 142, 154sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  ( 0  ^ c  v ) )
1568eleq2i 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  <->  v  e.  ( `' Re " RR+ )
)
157 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re : CC --> RR  ->  Re  Fn  CC )
158 elpreima 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re  Fn  CC  ->  (
v  e.  ( `' Re " RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re `  v )  e.  RR+ ) ) )
15910, 157, 158mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  ( `' Re "
RR+ )  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
160156, 159bitri 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  <->  ( v  e.  CC  /\  ( Re
`  v )  e.  RR+ ) )
161160simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  CC )
162160simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  e.  RR+ )
163162rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  e.  D  ->  (
Re `  v )  =/=  0 )
164 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  ( Re ` 
0 ) )
165 re0 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Re
`  0 )  =  0
166164, 165syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  0  ->  (
Re `  v )  =  0 )
167166necon3i 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Re `  v )  =/=  0  ->  v  =/=  0 )
168163, 167syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  D  ->  v  =/=  0 )
169161, 1680cxpd 20073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( v  e.  D  ->  (
0  ^ c  v )  =  0 )
170169adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0  ^ c  v )  =  0 )
171155, 170eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v )  =  0 )
172 oveq12 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  a  /\  y  =  b )  ->  ( x  ^ c 
y )  =  ( a  ^ c  b ) )
173 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  ^ c  b )  e.  _V
174172, 18, 173ovmpt2a 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b )  =  ( a  ^ c  b ) )
175174adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b )  =  ( a  ^ c  b ) )
176171, 175oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  =  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^ c 
b ) ) )
177132, 146cxpcld 20071 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
a  ^ c  b )  e.  CC )
178133cnmetdval 18296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( a  ^ c 
b )  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs  o.  -  )
( a  ^ c 
b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^ c  b ) ) ) )
179131, 177, 178sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  ( 0  -  (
a  ^ c  b ) ) ) )
180 df-neg 9056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -u (
a  ^ c  b )  =  ( 0  -  ( a  ^ c  b ) )
181180fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( abs `  -u ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  (
0  -  ( a  ^ c  b ) ) )
182177absnegd 11947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  -u ( a  ^ c  b ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
183181, 182syl5eqr 2342 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( a  ^ c 
b ) ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
184176, 179, 1833eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( 0 ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  =  ( abs `  (
a  ^ c  b ) ) )
185184breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e  <->  ( abs `  ( a  ^ c 
b ) )  < 
e ) )
186151, 185imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  e.  D  /\  ( a  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  b  e.  D
) )  ->  (
( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  ( (
( abs `  a
)  <  d  /\  ( abs `  ( v  -  b ) )  <  d )  -> 
( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
1871862ralbidva 2596 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. a  e.  (
0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  (
( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) a )  < 
d  /\  ( v
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) b )  <  d
)  ->  ( (
0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs 
o.  -  ) (
a ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  < 
e )  <->  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
188187rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
189188ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  ( A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e )  <->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( abs `  a )  <  d  /\  ( abs `  (
v  -  b ) )  <  d )  ->  ( abs `  (
a  ^ c  b ) )  <  e
) ) )
190124, 189mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) )
191 cnxmet 18298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )
192191a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  D  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC ) )
193 xmetres2 17941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  e.  ( * Met `  (
0 [,)  +oo ) ) )
194192, 6, 193sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,)  +oo ) ) )
195 xmetres2 17941 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )  e.  ( * Met `  D ) )
196192, 13, 195sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
) )
197127a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
198 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  D  ->  v  e.  D )
199 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) )
20021cnfldtopn 18307 . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
201 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )  =  ( MetOpen `  (
( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
202199, 200, 201metrest 18086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  ( 0 [,)  +oo )  C_  CC )  -> 
( Jt  ( 0 [,) 
+oo ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) ) )
203191, 6, 202mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  ( 0 [,)  +oo )
)  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
20465, 203eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  (
0 [,)  +oo ) ) ) )
205 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) )
206 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
207205, 200, 206metrest 18086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( * Met `  CC )  /\  D  C_  CC )  -> 
( Jt  D )  =  (
MetOpen `  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) ) )
208191, 13, 207mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Jt  D )  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D ) ) )
20938, 208eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  L  =  ( MetOpen `  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) )
210204, 209, 200txmetcnp 18109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( abs 
o.  -  )  |`  (
( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,) 
+oo ) ) )  e.  ( * Met `  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  (
( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) )  e.  ( * Met `  D
)  /\  ( abs  o. 
-  )  e.  ( * Met `  CC ) )  /\  (
0  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D ) )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. 0 ,  v >.
)  <->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
211194, 196, 192, 197, 198, 210syl32anc 1190 . . . . . . . 8  |-  ( v  e.  D  ->  (
( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c 
y ) )  e.  ( ( ( K 
tX  L )  CnP 
J ) `  <. 0 ,  v >. )  <-> 
( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D
) --> CC  /\  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. a  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. b  e.  D  ( ( ( 0 ( ( abs  o.  -  )  |`  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  ( 0 [,)  +oo ) ) ) a )  <  d  /\  ( v ( ( abs  o.  -  )  |`  ( D  X.  D
) ) b )  <  d )  -> 
( ( 0 ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) v ) ( abs  o.  -  )
( a ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) b ) )  <  e ) ) ) )
212120, 190, 211mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( v  e.  D  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. 0 ,  v
>. ) )
213212ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. 0 ,  v
>. ) )
214 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  0  =  u )
215214opeq1d 3818 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  <. 0 ,  v >.  =  <. u ,  v >. )
216215fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. 0 ,  v >. )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
217213, 216eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D
)  /\  0  =  u )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
21845simprbi 450 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  0  <_  u )
219218adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  0  <_  u )
220 leloe 8924 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  u  e.  RR )  ->  ( 0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
2211, 47, 220sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0  <_  u  <->  ( 0  <  u  \/  0  =  u ) ) )
222219, 221mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
0  <  u  \/  0  =  u )
)
223119, 217, 222mpjaodan 761 . . . 4  |-  ( ( u  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  v  e.  D )  ->  (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  <. u ,  v
>. ) )
224223rgen2 2652 . . 3  |-  A. u  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. )
225 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )  =  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
226225eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( z  =  <. u ,  v
>.  ->  ( ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z )  <->  ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  <. u ,  v >.
) ) )
227226ralxp 4843 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( (
0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z )  <->  A. u  e.  ( 0 [,)  +oo ) A. v  e.  D  ( x  e.  (
0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J
) `  <. u ,  v >. ) )
228224, 227mpbir 200 . 2  |-  A. z  e.  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L )  CnP  J ) `  z )
229 cncnp 17025 . . 3  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( ( 0 [,) 
+oo )  X.  D
) )  /\  J  e.  (TopOn `  CC )
)  ->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z ) ) ) )
230101, 22, 229mp2an 653 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )  <->  ( (
x  e.  ( 0 [,)  +oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) ) : ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) --> CC  /\  A. z  e.  ( ( 0 [,)  +oo )  X.  D ) ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( ( K  tX  L
)  CnP  J ) `  z ) ) )
23120, 228, 230mpbir2an 886 1  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo ) ,  y  e.  D  |->  ( x  ^ c  y ) )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   <.cop 3656   class class class wbr 4039    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   Recre 11598   abscabs 11735   ↾t crest 13341   TopOpenctopn 13342   topGenctg 13358   * Metcxmt 16385   MetOpencmopn 16388  ℂfldccnfld 16393   Topctop 16647  TopOnctopon 16648   intcnt 16770    Cn ccn 16970    CnP ccnp 16971    tX ctx 17271    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  resqrcn  20105
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-tan 12369  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
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