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Theorem cxpeq 20113
Description: Solve an equation involving an  N-th power. The expression  -u 1  ^ c  ( 2  /  N )  =  exp ( 2 pi _i 
/  N ) is a way to write the primitive  N-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, N

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  N  e.  NN )
2 nnm1nn0 10021 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
31, 2syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
4 nn0uz 10278 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
53, 4syl6eleq 2386 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
6 eluzfz1 10819 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
8 neg1cn 9829 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
9 2re 9831 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
10 simp2 956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
11 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
129, 10, 11sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  RR )
1312recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
14 cxpcl 20037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
158, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
17 0nn0 9996 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
18 expcl 11137 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  0  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
2019mul02d 9026 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  0 )
21 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  0 )
2221oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  B )
2410expd 11277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
2522, 23, 243eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  B  =  0 )
2625oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  ( 0  ^ c  ( 1  /  N ) ) )
27 nncn 9770 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
28 nnne0 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
29 reccl 9447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  e.  CC )
30 recne0 9453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  =/=  0 )
3129, 300cxpd 20073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c 
( 1  /  N
) )  =  0 )
3227, 28, 31syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
331, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3426, 33eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3534oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3620, 35, 213eqtr4rd 2339 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )
37 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )
3837oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3938eqeq2d 2307 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  A  =  (
( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) ) )
4039rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
417, 36, 40syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
4241expr 598 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
43 simpl1 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  e.  CC )
44 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  =/=  0 )
45 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN )
4645nnzd 10132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
47 explog 19963 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) ) )
4843, 44, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A
) ) ) )
4948eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N ) )
5010nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  CC )
5150adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  CC )
52 logcl 19942 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
5343, 44, 52syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  A )  e.  CC )
5451, 53mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
5545nnnn0d 10034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN0 )
5643, 55expcld 11261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
5743, 44, 46expne0d 11267 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =/=  0
)
58 eflogeq 19971 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  =/=  0 )  ->  (
( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5954, 56, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
6049, 59mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) )
61 logcl 19942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A ^ N
)  e.  CC  /\  ( A ^ N )  =/=  0 )  -> 
( log `  ( A ^ N ) )  e.  CC )
6256, 57, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  ( A ^ N
) )  e.  CC )
6362adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( A ^ N ) )  e.  CC )
64 ax-icn 8812 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
65 2cn 9832 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
66 pire 19848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
6766recni 8865 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6865, 67mulcli 8858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
6964, 68mulcli 8858 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC
70 zcn 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
7170adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
72 mulcl 8837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  e.  CC )
7369, 71, 72sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m )  e.  CC )
7463, 73addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  e.  CC )
7551adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
7653adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7710nnne0d 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  =/=  0 )
7877ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
7974, 75, 76, 78divmuld 9574 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  <->  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
80 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A )  ->  ( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) ) )
8175, 78reccld 9545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
8281, 63mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) )  e.  CC )
8313ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
8483, 71mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  /  N
)  x.  m )  e.  CC )
8564, 67mulcli 8858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
86 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
8784, 85, 86sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
88 efadd 12391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  e.  CC  /\  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8982, 87, 88syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
9063, 73, 75, 78divdird 9590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) ) )
9163, 75, 78divrec2d 9556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  =  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )
9269a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9392, 71, 75, 78div23d 9589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  x.  m ) )
9464, 65, 67mul12i 9023 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
9594oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  /  N
)
9665a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
9785a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
9896, 97, 75, 78div23d 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9995, 98syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10099oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) )  x.  m
) )
10183, 97, 71mul32d 9038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10293, 100, 1013eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10391, 102oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
10490, 103eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
105104fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
10656adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
10757adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =/=  0 )
108106, 107, 81cxpefd 20075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) ) )
1098a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  e.  CC )
110 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
111 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =/=  0
112110, 111negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =/=  0
113112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  =/=  0 )
114 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
115109, 113, 83, 114cxpmul2zd 20079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ m
) )
116109, 113, 84cxpefd 20075 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
117 logm1 19958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
118117oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
119118fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
120116, 119syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
121109, 83cxpcld 20071 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1228a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  e.  CC )
123112a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  =/=  0 )
124122, 123, 13cxpne0d 20076 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
125124ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
126121, 125, 114expclzd 11266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  e.  CC )
12745adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
128114, 127zmodcld 11006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  NN0 )
129121, 128expcld 11261 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  e.  CC )
130128nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ZZ )
131121, 125, 130expne0d 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =/=  0 )
132121, 125, 130, 114expsubd 11272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^
m )  /  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
133127nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
134 zre 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
135134adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  RR )
136127nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
137 moddifz 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ )
138135, 136, 137syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ )
139 expmulz 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )
140121, 125, 133, 138, 139syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^ (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N ) ) )
141128nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  CC )
14271, 141subcld 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  -  ( m  mod  N ) )  e.  CC )
143142, 75, 78divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( m  -  ( m  mod  N ) ) )
144143oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) ) )
145 root1id 20110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
146127, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
147146oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( 1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N
) ) )
148 1exp 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
149138, 148syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
150147, 149eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
151140, 144, 1503eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
152132, 151eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ m )  / 
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
153126, 129, 131, 152diveq1d 9560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )
154115, 120, 1533eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
155108, 154oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )  =  ( ( exp `  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
15689, 105, 1553eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) ) )
157 eflog 19949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
15843, 44, 157syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
159158adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
160156, 159eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
161 zmodfz 11007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
162114, 127, 161syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
163 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  =  A )
164 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  =  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )
165164oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
166165eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  A  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
167163, 166syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
168167rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
169168ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
170162, 169syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
171160, 170sylbid 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17280, 171syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17379, 172sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
174173rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
17560, 174mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
176 oveq1 5881 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) )
177176oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
178177eqeq2d 2307 . . . . 5  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( A  =  ( (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  <->  A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
179178rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
180175, 179syl5ibcom 211 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
18142, 180pm2.61dane 2537 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
182 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
183 nnrecre 9798 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
1841833ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
185184recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
186182, 185cxpcld 20071 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
187186adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
188 elfznn0 10838 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
189 expcl 11137 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  e.  CC )
19015, 188, 189syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  e.  CC )
19110adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
192191nnnn0d 10034 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
193187, 190, 192mulexpd 11276 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  ( ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) ) ^ N
)  x.  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^
n ) ^ N
) ) )
194182adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
195 cxproot 20053 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
196194, 191, 195syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
197188adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
198197nn0cnd 10036 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
199191nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
200198, 199mulcomd 8872 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( n  x.  N )  =  ( N  x.  n ) )
201200oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) ) )
20215adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
203202, 192, 197expmuld 11264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )
204202, 197, 192expmuld 11264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) )  =  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
205201, 203, 2043eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
206191, 145syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  =  1 )
207206oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
208 elfzelz 10814 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
209208adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
210 1exp 11147 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
211209, 210syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
212205, 207, 2113eqtrd 2332 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  1 )
213196, 212oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  x.  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )  =  ( B  x.  1 ) )
214194mulid1d 8868 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  x.  1 )  =  B )
215193, 213, 2143eqtrd 2332 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B )
216 oveq1 5881 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ^ N ) )
217216eqeq1d 2304 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( ( A ^ N )  =  B  <->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B ) )
218215, 217syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
219218rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
220181, 219impbid 183 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754   _ici 8755    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798    mod cmo 10989   ^cexp 11120   expce 12359   picpi 12364   logclog 19928    ^ c ccxp 19929
This theorem is referenced by:  1cubr  20154
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
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