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Theorem cxpeq 20633
Description: Solve an equation involving an  N-th power. The expression  -u 1  ^ c  ( 2  /  N )  =  exp ( 2 pi _i 
/  N ) is a way to write the primitive  N-th root of unity with the smallest positive argument. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cxpeq  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    B, n    n, N

Proof of Theorem cxpeq
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  N  e.  NN )
2 nnm1nn0 10253 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  NN0 )
4 nn0uz 10512 . . . . . . 7  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
53, 4syl6eleq 2525 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
6 eluzfz1 11056 . . . . . 6  |-  ( ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  0
)  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  0  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
8 neg1cn 10059 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
9 2re 10061 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
10 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  NN )
11 nndivre 10027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  /  N
)  e.  RR )
129, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  RR )
1312recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
14 cxpcl 20557 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  N
)  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
158, 13, 14sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1615adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
17 0nn0 10228 . . . . . . . 8  |-  0  e.  NN0
18 expcl 11391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  0  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
1916, 17, 18sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 )  e.  CC )
2019mul02d 9256 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  0 )
21 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  0 )
2221oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( 0 ^ N
) )
23 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( A ^ N )  =  B )
2410expd 11531 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0 ^ N )  =  0 )
2522, 23, 243eqtr3d 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  B  =  0 )
2625oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  ( 0  ^ c  ( 1  /  N ) ) )
27 nncn 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
28 nnne0 10024 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
29 reccl 9677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  e.  CC )
30 recne0 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 1  /  N
)  =/=  0 )
3129, 300cxpd 20593 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  -> 
( 0  ^ c 
( 1  /  N
) )  =  0 )
3227, 28, 31syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
331, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
0  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3426, 33eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  0 )
3534oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  (
( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )  =  ( 0  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3620, 35, 213eqtr4rd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )
37 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  0  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) )
3837oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( n  =  0  ->  (
( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) )
3938eqeq2d 2446 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  A  =  (
( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ 0 ) ) ) )
4039rspcev 3044 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ 0 ) ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
417, 36, 40syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  ( A  =  0  /\  ( A ^ N )  =  B ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
4241expr 599 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
43 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  e.  CC )
44 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  A  =/=  0 )
45 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN )
4645nnzd 10366 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  ZZ )
47 explog 20480 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) ) )
4843, 44, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A
) ) ) )
4948eqcomd 2440 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N ) )
5010nncnd 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  e.  CC )
5150adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  CC )
5243, 44logcld 20460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  A )  e.  CC )
5351, 52mulcld 9100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( N  x.  ( log `  A
) )  e.  CC )
5445nnnn0d 10266 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  N  e.  NN0 )
5543, 54expcld 11515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
5643, 44, 46expne0d 11521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A ^ N )  =/=  0
)
57 eflogeq 20488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  e.  CC  /\  ( A ^ N )  =/=  0 )  ->  (
( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5853, 55, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( exp `  ( N  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( A ^ N )  <->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
5949, 58mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) )
6055, 56logcld 20460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( log `  ( A ^ N
) )  e.  CC )
6160adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( A ^ N ) )  e.  CC )
62 ax-icn 9041 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
63 2cn 10062 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  CC
64 pire 20364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  pi  e.  RR
6564recni 9094 . . . . . . . . . . . 12  |-  pi  e.  CC
6663, 65mulcli 9087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  x.  pi )  e.  CC
6762, 66mulcli 9087 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC
68 zcn 10279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
6968adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  CC )
70 mulcl 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  e.  CC )
7167, 69, 70sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m )  e.  CC )
7261, 71addcld 9099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  e.  CC )
7351adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
7452adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( log `  A )  e.  CC )
7510nnne0d 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  N  =/=  0 )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  =/=  0 )
7772, 73, 74, 76divmuld 9804 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  <->  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) ) ) )
78 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A )  ->  ( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) ) )
7973, 76reccld 9775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
8079, 61mulcld 9100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) )  e.  CC )
8113ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
2  /  N )  e.  CC )
8281, 69mulcld 9100 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  /  N
)  x.  m )  e.  CC )
8362, 65mulcli 9087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i  x.  pi )  e.  CC
84 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  e.  CC  /\  ( _i  x.  pi )  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
)  e.  CC )
8582, 83, 84sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )
86 efadd 12688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  e.  CC  /\  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8780, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )  x.  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) ) )
8861, 71, 73, 76divdird 9820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) ) )
8961, 73, 76divrec2d 9786 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  =  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) )
9067a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  ( 2  x.  pi ) )  e.  CC )
9190, 69, 73, 76div23d 9819 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  x.  m ) )
9262, 63, 65mul12i 9253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)
9392oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  x.  ( _i  x.  pi ) )  /  N
)
9463a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  2  e.  CC )
9583a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
_i  x.  pi )  e.  CC )
9694, 95, 73, 76div23d 9819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( 2  x.  (
_i  x.  pi )
)  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9793, 96syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  /  N )  =  ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
9897oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  /  N
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  ( _i  x.  pi ) )  x.  m
) )
9981, 95, 69mul32d 9268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( 2  /  N )  x.  (
_i  x.  pi )
)  x.  m )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10091, 98, 993eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m
)  /  N )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) )
10189, 100oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  /  N )  +  ( ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m )  /  N
) )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
10288, 101eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) )
103102fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  (
( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) )  +  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
10455adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  e.  CC )
10556adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A ^ N )  =/=  0 )
106104, 105, 79cxpefd 20595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  N )  x.  ( log `  ( A ^ N ) ) ) ) )
1078a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  e.  CC )
108 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
109 ax-1ne0 9051 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  =/=  0
110108, 109negne0i 9367 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =/=  0
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u 1  =/=  0 )
112 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  ZZ )
113107, 111, 81, 112cxpmul2zd 20599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ m
) )
114107, 111, 82cxpefd 20595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) ) )
115 logm1 20475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( log `  -u 1 )  =  ( _i  x.  pi )
116115oveq2i 6084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 2  /  N
)  x.  m )  x.  ( log `  -u 1
) )  =  ( ( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) )
117116fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  ( log `  -u 1 ) ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) )
118114, 117syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( ( 2  /  N
)  x.  m ) )  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
119107, 81cxpcld 20591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
1208a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  e.  CC )
121110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  -u 1  =/=  0 )
122120, 121, 13cxpne0d 20596 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
123122ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )
124119, 123, 112expclzd 11520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  e.  CC )
12545adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
126112, 125zmodcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  NN0 )
127119, 126expcld 11515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  e.  CC )
128126nn0zd 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ZZ )
129119, 123, 128expne0d 11521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =/=  0 )
130119, 123, 128, 112expsubd 11526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^
m )  /  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
131125nnzd 10366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
132 zre 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
133132adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  m  e.  RR )
134125nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
135 moddifz 11252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ )
136133, 134, 135syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ )
137 expmulz 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  =/=  0 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N )  e.  ZZ ) )  -> 
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )
138119, 123, 131, 136, 137syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^ (
( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N ) ) )
139126nn0cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  CC )
14069, 139subcld 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  -  ( m  mod  N ) )  e.  CC )
141140, 73, 76divcan2d 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( m  -  ( m  mod  N ) ) )
142141oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ ( N  x.  ( (
m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) ) )  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) ) )
143 root1id 20630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
144125, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
)  =  1 )
145144oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  ( 1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N
) ) )
146 1exp 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( m  -  (
m  mod  N )
)  /  N )  e.  ZZ  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
147136, 146syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
1 ^ ( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
148145, 147eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N ) ^
( ( m  -  ( m  mod  N ) )  /  N ) )  =  1 )
149138, 142, 1483eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  -  ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
150130, 149eqtr3d 2469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ m )  / 
( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  1 )
151124, 127, 129, 150diveq1d 9790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ m
)  =  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )
152113, 118, 1513eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
)  =  ( exp `  ( ( ( 2  /  N )  x.  m )  x.  (
_i  x.  pi )
) ) )
153106, 152oveq12d 6091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) )  =  ( ( exp `  (
( 1  /  N
)  x.  ( log `  ( A ^ N
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( ( 2  /  N )  x.  m
)  x.  ( _i  x.  pi ) ) ) ) )
15487, 103, 1533eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) ) )
155 eflog 20466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  A ) )  =  A )
15643, 44, 155syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
157156adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( exp `  ( log `  A
) )  =  A )
158154, 157eqeq12d 2449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
159 zmodfz 11260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) ) )
160112, 125, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) )
161 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  =  A )
162 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  =  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )
163162oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ (
m  mod  N )
) ) )
164163eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( (
( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  A  <-> 
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
165161, 164syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  mod  N )  ->  ( A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A ) )
166165rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  mod  N
)  e.  ( 0 ... ( N  - 
1 ) )  /\  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
167166ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  mod  N )  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
168160, 167syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( m  mod  N ) ) )  =  A  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
169158, 168sylbid 207 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( exp `  (
( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N ) )  =  ( exp `  ( log `  A ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17078, 169syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  /  N )  =  ( log `  A
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17177, 170sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0 )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N
) )  +  ( ( _i  x.  (
2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
172171rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( N  x.  ( log `  A ) )  =  ( ( log `  ( A ^ N ) )  +  ( ( _i  x.  ( 2  x.  pi ) )  x.  m ) )  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
17359, 172mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
174 oveq1 6080 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  =  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) )
175174oveq1d 6088 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  (
( ( A ^ N )  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) )
176175eqeq2d 2446 . . . . 5  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( A  =  ( (
( A ^ N
)  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) )  <->  A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
177176rexbidv 2718 . . . 4  |-  ( ( A ^ N )  =  B  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( ( A ^ N )  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
178173, 177syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A ^ N )  =  B  ->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
17942, 178pm2.61dane 2676 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  ->  E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ) )
180 simp3 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
181 nnrecre 10028 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
1821813ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  RR )
183182recnd 9106 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
1  /  N )  e.  CC )
184180, 183cxpcld 20591 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
185184adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  e.  CC )
186 elfznn0 11075 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  NN0 )
187 expcl 11391 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC  /\  n  e. 
NN0 )  ->  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
)  e.  CC )
18815, 186, 187syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n )  e.  CC )
18910adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN )
190189nnnn0d 10266 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
191185, 188, 190mulexpd 11530 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  ( ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) ) ^ N
)  x.  ( ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^
n ) ^ N
) ) )
192180adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
193 cxproot 20573 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
194192, 189, 193syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  =  B )
195186adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  NN0 )
196195nn0cnd 10268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  CC )
197189nncnd 10008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
198196, 197mulcomd 9101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( n  x.  N )  =  ( N  x.  n ) )
199198oveq2d 6089 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) ) )
20015adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) )  e.  CC )
201200, 190, 195expmuld 11518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( n  x.  N ) )  =  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )
202200, 195, 190expmuld 11518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ ( N  x.  n ) )  =  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
203199, 201, 2023eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n ) )
204189, 143syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ N )  =  1 )
205204oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ N
) ^ n )  =  ( 1 ^ n ) )
206 elfzelz 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) )  ->  n  e.  ZZ )
207206adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
208 1exp 11401 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
1 ^ n )  =  1 )
209207, 208syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( 1 ^ n )  =  1 )
210203, 205, 2093eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N )  =  1 )
211194, 210oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) ) ^ N )  x.  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ^ N ) )  =  ( B  x.  1 ) )
212192mulid1d 9097 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( B  x.  1 )  =  B )
213191, 211, 2123eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B )
214 oveq1 6080 . . . . 5  |-  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) ) ^ N ) )
215214eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( ( A ^ N )  =  B  <->  ( ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ^ N
)  =  B ) )
216213, 215syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  /\  n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) )  ->  ( A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
217216rexlimdva 2822 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  ( E. n  e.  (
0 ... ( N  - 
1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c  ( 1  /  N ) )  x.  ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  N ) ) ^ n ) )  ->  ( A ^ N )  =  B ) )
218179, 217impbid 184 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  N  e.  NN  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A ^ N
)  =  B  <->  E. n  e.  ( 0 ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( ( B  ^ c 
( 1  /  N
) )  x.  (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  N
) ) ^ n
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   E.wrex 2698   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    - cmin 9283   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ...cfz 11035    mod cmo 11242   ^cexp 11374   expce 12656   picpi 12661   logclog 20444    ^ c ccxp 20445
This theorem is referenced by:  1cubr  20674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447
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