MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2a Unicode version

Theorem cxple2a 20450
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2a  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  ^ c  C )  <_  ( B  ^ c  C ) )

Proof of Theorem cxple2a
StepHypRef Expression
1 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  A  <_  B )
2 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  A  e.  RR )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  A  e.  RR )
4 simpl2l 1010 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
0  <_  A )
5 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  B  e.  RR )
65adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  B  e.  RR )
7 0re 9017 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
87a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
0  e.  RR )
98, 3, 6, 4, 1letrd 9152 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
0  <_  B )
10 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  C  e.  RR )
1110anim1i 552 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
12 elrp 10539 . . . . 5  |-  ( C  e.  RR+  <->  ( C  e.  RR  /\  0  < 
C ) )
1311, 12sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  ->  C  e.  RR+ )
14 cxple2 20448 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B )  /\  C  e.  RR+ )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  ^ c  C
)  <_  ( B  ^ c  C )
) )
153, 4, 6, 9, 13, 14syl221anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
( A  <_  B  <->  ( A  ^ c  C
)  <_  ( B  ^ c  C )
) )
161, 15mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  <  C )  -> 
( A  ^ c  C )  <_  ( B  ^ c  C ) )
17 1le1 9575 . . . 4  |-  1  <_  1
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  1  <_  1 )
192recnd 9040 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  A  e.  CC )
20 cxp0 20421 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  ^ c  0 )  =  1 )
2119, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  ^ c  0 )  =  1 )
22 oveq2 6021 . . . 4  |-  ( 0  =  C  ->  ( A  ^ c  0 )  =  ( A  ^ c  C ) )
2321, 22sylan9req 2433 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  1  =  ( A  ^ c  C ) )
245recnd 9040 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  B  e.  CC )
25 cxp0 20421 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B  ^ c  0 )  =  1 )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  ^ c  0 )  =  1 )
27 oveq2 6021 . . . 4  |-  ( 0  =  C  ->  ( B  ^ c  0 )  =  ( B  ^ c  C ) )
2826, 27sylan9req 2433 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  1  =  ( B  ^ c  C ) )
2918, 23, 283brtr3d 4175 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B )  /\  0  =  C )  ->  ( A  ^ c  C )  <_  ( B  ^ c  C ) )
30 simp2r 984 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  0  <_  C )
31 leloe 9087 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C )
) )
327, 10, 31sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( 0  <_  C  <->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) ) )
3330, 32mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( 0  <  C  \/  0  =  C ) )
3416, 29, 33mpjaodan 762 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  0  <_  C )  /\  A  <_  B
)  ->  ( A  ^ c  C )  <_  ( B  ^ c  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    < clt 9046    <_ cle 9047   RR+crp 10537    ^ c ccxp 20313
This theorem is referenced by:  cxple2ad  20476
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-sum 12400  df-ef 12590  df-sin 12592  df-cos 12593  df-pi 12595  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314  df-cxp 20315
  Copyright terms: Public domain W3C validator