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Theorem cxploglim2 20273
Description: Every power of the logarithm grows slower than any positive power. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
cxploglim2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  ~~> r  0 )
Distinct variable groups:    A, n    B, n

Proof of Theorem cxploglim2
StepHypRef Expression
1 3re 9817 . . 3  |-  3  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
3  e.  RR )
3 0re 8838 . . . 4  |-  0  e.  RR
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  RR )
54recnd 8861 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  e.  CC )
6 ovex 5883 . . . 4  |-  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V
76a1i 10 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  _V )
8 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
9 recl 11595 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( Re `  A
)  e.  RR )
11 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
12 ifcl 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
1310, 11, 12sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
1411a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  e.  RR )
15 0lt1 9296 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
1615a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  1 )
17 max1 10514 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
1811, 10, 17sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
1  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
194, 14, 13, 16, 18ltletrd 8976 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
2013, 19elrpd 10388 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
218, 20rpdivcld 10407 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
22 cxploglim 20272 . . . 4  |-  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
2321, 22syl 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) ) )  ~~> r  0 )
247, 23, 20rlimcxp 20268 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ~~> r  0 )
257, 23rlimmptrcl 12081 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  CC )
2613adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  RR )
2726recnd 8861 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  e.  CC )
2825, 27cxpcld 20055 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
29 relogcl 19932 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
3029adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  RR )
3130recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( log `  n
)  e.  CC )
32 simpll 730 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  CC )
3331, 32cxpcld 20055 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n
)  ^ c  A
)  e.  CC )
34 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  n  e.  RR+ )
35 rpre 10360 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
3635ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
3734, 36rpcxpcld 20077 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^ c  B )  e.  RR+ )
3837rpcnd 10392 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^ c  B )  e.  CC )
3937rpne0d 10395 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( n  ^ c  B )  =/=  0
)
4033, 38, 39divcld 9536 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) )  e.  CC )
4140adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) )  e.  CC )
4241abscld 11918 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  e.  RR )
43 rpre 10360 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  RR )
4443ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR )
4511a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  e.  RR )
461a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  e.  RR )
47 1lt3 9888 . . . . . . . . . 10  |-  1  <  3
4847a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  3 )
49 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  3  <_  n )
5045, 46, 44, 48, 49ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  n )
5144, 50rplogcld 19980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR+ )
5234adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  n  e.  RR+ )
5335ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  RR )
5420adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR+ )
5553, 54rerpdivcld 10417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
5652, 55rpcxpcld 20077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+ )
5751, 56rpdivcld 10407 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  / 
( n  ^ c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
5813adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  RR )
5957, 58rpcxpcld 20077 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6059rpred 10390 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6128adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  e.  CC )
6261abscld 11918 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR )
6333adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  A )  e.  CC )
6463abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^ c  A
) )  e.  RR )
6551, 58rpcxpcld 20077 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR+ )
6665rpred 10390 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) )  e.  RR )
6737adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  B )  e.  RR+ )
68 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  A  e.  CC )
69 abscxp 20039 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR+  /\  A  e.  CC )  ->  ( abs `  ( ( log `  n )  ^ c  A ) )  =  ( ( log `  n
)  ^ c  ( Re `  A ) ) )
7051, 68, 69syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^ c  A
) )  =  ( ( log `  n
)  ^ c  ( Re `  A ) ) )
7168recld 11679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  e.  RR )
72 max2 10516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( Re `  A
)  <_  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7311, 71, 72sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( Re `  A )  <_  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )
7429ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  n )  e.  RR )
75 loge 19940 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  _e )  =  1
76 ere 12370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  e.  RR
7776a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  e.  RR )
78 egt2lt3 12484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
7978simpri 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  _e  <  3
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  3 )
8177, 46, 44, 80, 49ltletrd 8976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  _e  <  n )
82 epr 12486 . . . . . . . . . . . 12  |-  _e  e.  RR+
83 logltb 19953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _e  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
_e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) ) )
8482, 52, 83sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( _e  <  n  <->  ( log `  _e )  <  ( log `  n
) ) )
8581, 84mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( log `  _e )  <  ( log `  n ) )
8675, 85syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  1  <  ( log `  n ) )
8774, 86, 71, 58cxpled 20067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
Re `  A )  <_  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 )  <->  ( ( log `  n )  ^ c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
8873, 87mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  ^ c  ( Re `  A ) )  <_ 
( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
8970, 88eqbrtrd 4043 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( log `  n
)  ^ c  A
) )  <_  (
( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
9064, 66, 67, 89lediv1dd 10444 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^ c  A ) )  / 
( n  ^ c  B ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
9133, 38, 39absdivd 11937 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  ( abs `  ( n  ^ c  B ) ) ) )
9291adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  ( abs `  ( n  ^ c  B ) ) ) )
9367rprege0d 10397 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^ c  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^ c  B ) ) )
94 absid 11781 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  ^ c  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( n  ^ c  B )
)  ->  ( abs `  ( n  ^ c  B ) )  =  ( n  ^ c  B ) )
9593, 94syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( n  ^ c  B ) )  =  ( n  ^ c  B ) )
9695oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( abs `  ( ( log `  n )  ^ c  A ) )  / 
( abs `  (
n  ^ c  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
9792, 96eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  =  ( ( abs `  (
( log `  n
)  ^ c  A
) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
9851rprege0d 10397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( log `  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( log `  n
) ) )
9913recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
10099adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )
101 divcxp 20034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( log `  n
) )  /\  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  e.  RR+  /\  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  e.  CC )  ->  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
10298, 56, 100, 101syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^ c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) ) )
10352, 55, 100cxpmuld 20081 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
10453recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  B  e.  CC )
10554rpne0d 10395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  if (
1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 )  =/=  0 )
106104, 100, 105divcan1d 9537 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  B )
107106oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( n  ^ c  ( ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  x.  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  =  ( n  ^ c  B ) )
108103, 107eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( n  ^ c  B
) )
109108oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
( n  ^ c 
( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )  ^ c  if ( 1  <_ 
( Re `  A
) ,  ( Re
`  A ) ,  1 ) ) )  =  ( ( ( log `  n )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  ( n  ^ c  B ) ) )
110102, 109eqtrd 2315 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  =  ( ( ( log `  n
)  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  /  (
n  ^ c  B
) ) )
11190, 97, 1103brtr4d 4053 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  <_ 
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
11260leabsd 11897 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  <_  ( abs `  ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11342, 60, 62, 111, 112letrd 8973 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  <_ 
( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
11441subid1d 9146 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  ( n  ^ c  B ) ) )
115114fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  ( n  ^ c  B ) )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  ^ c  A
)  /  ( n  ^ c  B ) ) ) )
11661subid1d 9146 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 )  =  ( ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) )
117116fveq2d 5529 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) )  =  ( abs `  (
( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )
118113, 115, 1173brtr4d 4053 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( n  e.  RR+  /\  3  <_  n )
)  ->  ( abs `  ( ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  ( n  ^ c  B ) )  - 
0 ) )  <_ 
( abs `  (
( ( ( log `  n )  /  (
n  ^ c  ( B  /  if ( 1  <_  ( Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) ) ) )  ^ c  if ( 1  <_  (
Re `  A ) ,  ( Re `  A ) ,  1 ) )  -  0 ) ) )
1192, 5, 24, 28, 40, 118rlimsqzlem 12122 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( n  e.  RR+  |->  ( ( ( log `  n )  ^ c  A )  /  (
n  ^ c  B
) ) )  ~~> r  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   2c2 9795   3c3 9796   RR+crp 10354   Recre 11582   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   _eceu 12344   logclog 19912    ^ c ccxp 19913
This theorem is referenced by:  logexprlim  20464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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