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Theorem cxpsqrlem 20585
Description: Lemma for cxpsqr 20586. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrlem  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )

Proof of Theorem cxpsqrlem
StepHypRef Expression
1 ax-icn 9041 . . 3  |-  _i  e.  CC
2 sqrcl 12157 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
32ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( sqr `  A )  e.  CC )
4 mulcl 9066 . . 3  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sqr `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
51, 3, 4sylancr 645 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC )
6 imval 11904 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  CC  ->  ( Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A ) ) )  =  ( Re
`  ( ( _i  x.  ( sqr `  A
) )  /  _i ) ) )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  ( Re `  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) ) )
8 ine0 9461 . . . . . 6  |-  _i  =/=  0
9 divcan3 9694 . . . . . 6  |-  ( ( ( sqr `  A
)  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0 )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
101, 8, 9mp3an23 1271 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  A )  e.  CC  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
113, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( _i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i )  =  ( sqr `  A
) )
1211fveq2d 5724 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  /  _i ) )  =  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
13 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
1413rehalfcli 10208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
1514recni 9094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
16 logcl 20458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( log `  A
)  e.  CC )
17 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1815, 16, 17sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
1918recld 11991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2019reefcld 12682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2118imcld 11992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2221recoscld 12737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
2319rpefcld 12698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR+ )
2423rpge0d 10644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
25 immul2 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( log `  A )  e.  CC )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2614, 16, 25sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2716imcld 11992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
2827recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
29 mulcom 9068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )  ->  (
( 1  /  2
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) )  =  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) ) )
3015, 28, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( 1  / 
2 )  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
3126, 30eqtrd 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  x.  (
1  /  2 ) ) )
32 logimcl 20459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
3332simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <  ( Im
`  ( log `  A
) ) )
34 pire 20364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  pi  e.  RR
3534renegcli 9354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  RR
36 ltle 9155 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
-u pi  e.  RR  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3735, 27, 36sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( -u pi  <  (
Im `  ( log `  A ) )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) ) )
3833, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  ->  -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A
) ) )
3932simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
4035, 34elicc2i 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  <->  ( ( Im
`  ( log `  A
) )  e.  RR  /\  -u pi  <_  ( Im
`  ( log `  A
) )  /\  (
Im `  ( log `  A ) )  <_  pi ) )
4127, 38, 39, 40syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi ) )
42 halfgt0 10180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  ( 1  /  2
)
4314, 42elrpii 10607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR+
4434recni 9094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  pi  e.  CC
45 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
46 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  =/=  0
47 divneg 9701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( pi  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 ) )
4844, 45, 46, 47mp3an 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u (
pi  /  2 )  =  ( -u pi  /  2 )
4935recni 9094 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u pi  e.  CC
5049, 45, 46divreci 9751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u pi  /  2 )  =  ( -u pi  x.  ( 1  /  2
) )
5148, 50eqtr2i 2456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( pi  / 
2 )
5244, 45, 46divreci 9751 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi 
/  2 )  =  ( pi  x.  (
1  /  2 ) )
5352eqcomi 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( pi  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  ( pi  /  2
)
5435, 34, 43, 51, 53iccdili 11027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  ( -u pi [,] pi )  ->  ( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2
) )  e.  (
-u ( pi  / 
2 ) [,] (
pi  /  2 ) ) )
5541, 54syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( Im `  ( log `  A ) )  x.  ( 1  /  2 ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
5631, 55eqeltrd 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  e.  ( -u (
pi  /  2 ) [,] ( pi  / 
2 ) ) )
57 cosq14ge0 20411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Im `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) )  e.  ( -u ( pi 
/  2 ) [,] ( pi  /  2
) )  ->  0  <_  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
5920, 22, 24, 58mulge0d 9595 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( ( exp `  ( Re `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
60 cxpef 20548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0  /\  (
1  /  2 )  e.  CC )  -> 
( A  ^ c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
6115, 60mp3an3 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  /  2
) )  =  ( exp `  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )
62 efeul 12755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( exp `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6318, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( exp `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6461, 63eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  ^ c 
( 1  /  2
) )  =  ( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )
6564fveq2d 5724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
6622recnd 9106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
6721resincld 12736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  RR )
6867recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )
69 mulcl 9066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
701, 68, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( _i  x.  ( sin `  ( Im `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  CC )
7166, 70addcld 9099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )  e.  CC )
7220, 71remul2d 12024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( Re
`  ( ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) ) )
7322, 67crred 12028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  (
( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) )  =  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
7473oveq2d 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( ( exp `  (
Re `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( Re `  ( ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  +  ( _i  x.  ( sin `  ( Im
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) )  x.  ( cos `  ( Im `  (
( 1  /  2
)  x.  ( log `  A ) ) ) ) ) )
7565, 72, 743eqtrd 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
( Re `  ( A  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( ( exp `  ( Re
`  ( ( 1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( cos `  (
Im `  ( (
1  /  2 )  x.  ( log `  A
) ) ) ) ) )
7659, 75breqtrrd 4230 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <_  ( Re `  ( A  ^ c 
( 1  /  2
) ) ) )
7776adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( A  ^ c  ( 1  /  2 ) ) ) )
78 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  ( A  ^ c  ( 1  /  2 ) )  =  -u ( sqr `  A
) )
7978fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  ( Re
`  -u ( sqr `  A
) ) )
803renegd 12006 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  -u ( sqr `  A ) )  = 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8179, 80eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( A  ^ c  ( 1  /  2 ) ) )  =  -u (
Re `  ( sqr `  A ) ) )
8277, 81breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_ 
-u ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
833recld 11991 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
8483le0neg1d 9590 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  <_  0  <->  0  <_  -u ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) )
8582, 84mpbird 224 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0 )
86 sqrrege0 12161 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
8786ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) )
88 0re 9083 . . . . 5  |-  0  e.  RR
89 letri3 9152 . . . . 5  |-  ( ( ( Re `  ( sqr `  A ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
9083, 88, 89sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
( Re `  ( sqr `  A ) )  =  0  <->  ( (
Re `  ( sqr `  A ) )  <_ 
0  /\  0  <_  ( Re `  ( sqr `  A ) ) ) ) )
9185, 87, 90mpbir2and 889 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Re `  ( sqr `  A ) )  =  0 )
927, 12, 913eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
Im `  ( _i  x.  ( sqr `  A
) ) )  =  0 )
935, 92reim0bd 11997 1  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  A  =/=  0 )  /\  ( A  ^ c  ( 1  / 
2 ) )  = 
-u ( sqr `  A
) )  ->  (
_i  x.  ( sqr `  A ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983   _ici 8984    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112    <_ cle 9113   -ucneg 9284    / cdiv 9669   2c2 10041   [,]cicc 10911   Recre 11894   Imcim 11895   sqrcsqr 12030   expce 12656   sincsin 12658   cosccos 12659   picpi 12661   logclog 20444    ^ c ccxp 20445
This theorem is referenced by:  cxpsqr  20586
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447
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