MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg 14968
Description: The cyclic group generated by  A is the smallest subgroup containing  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
Distinct variable groups:    x, s, A    G, s, x    x,  .x.    x, X    F, s
Allowed substitution hints:    .x. ( s)    F( x)    X( s)

Proof of Theorem cycsubg
StepHypRef Expression
1 ssintab 4067 . . . . 5  |-  ( ran 
F  C_  |^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
) }  <->  A. s
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  ran  F  C_  s ) )
2 cycsubg.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 cycsubg.t . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
4 cycsubg.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
52, 3, 4cycsubgss 14967 . . . . 5  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  ran  F 
C_  s )
61, 5mpgbir 1559 . . . 4  |-  ran  F  C_ 
|^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s ) }
7 df-rab 2714 . . . . 5  |-  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  =  {
s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s ) }
87inteqi 4054 . . . 4  |-  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  =  |^| { s  |  ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s ) }
96, 8sseqtr4i 3381 . . 3  |-  ran  F  C_ 
|^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s }
109a1i 11 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  C_  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s } )
112, 3, 4cycsubgcl 14966 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
12 eleq2 2497 . . . . 5  |-  ( s  =  ran  F  -> 
( A  e.  s  <-> 
A  e.  ran  F
) )
1312elrab 3092 . . . 4  |-  ( ran 
F  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  <->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  ran  F ) )
1411, 13sylibr 204 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  e.  {
s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
15 intss1 4065 . . 3  |-  ( ran 
F  e.  { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  ->  |^| { s  e.  (SubGrp `  G
)  |  A  e.  s }  C_  ran  F )
1614, 15syl 16 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s }  C_  ran  F )
1710, 16eqssd 3365 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =  |^| { s  e.  (SubGrp `  G )  |  A  e.  s } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2422   {crab 2709    C_ wss 3320   |^|cint 4050    e. cmpt 4266   ran crn 4879   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ZZcz 10282   Basecbs 13469   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689  SubGrpcsubg 14938
This theorem is referenced by:  cycsubg2  14977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-seq 11324  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-subg 14941
  Copyright terms: Public domain W3C validator