MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2cl Structured version   Unicode version

Theorem cycsubg2cl 14970
Description: Any multiple of an element is contained in the generated cyclic subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2cl.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg2cl.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg2cl.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubg2cl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  ( K `
 { A }
) )

Proof of Theorem cycsubg2cl
StepHypRef Expression
1 cycsubg2cl.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
21subgacs 14967 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  X ) )
32acsmred 13873 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X ) )
433ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )
)
5 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  X )
65snssd 3935 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  { A }  C_  X )
7 cycsubg2cl.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
87mrccl 13828 . . 3  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  X )  /\  { A }  C_  X )  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
94, 6, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
10 simp3 959 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
114, 7, 6mrcssidd 13842 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
12 snssg 3924 . . . 4  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( K `  { A } )  <->  { A }  C_  ( K `  { A } ) ) )
13123ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ( K `  { A } )  <->  { A }  C_  ( K `  { A } ) ) )
1411, 13mpbird 224 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( K `
 { A }
) )
15 cycsubg2cl.t . . 3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1615subgmulgcl 14949 . 2  |-  ( ( ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G )  /\  N  e.  ZZ  /\  A  e.  ( K `  { A } ) )  -> 
( N  .x.  A
)  e.  ( K `
 { A }
) )
179, 10, 14, 16syl3anc 1184 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  .x.  A
)  e.  ( K `
 { A }
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   {csn 3806   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ZZcz 10274   Basecbs 13461  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800   Grpcgrp 14677  .gcmg 14681  SubGrpcsubg 14930
This theorem is referenced by:  odngen  15203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-seq 11316  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933
  Copyright terms: Public domain W3C validator