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Theorem cycsubgcl 14659
Description: The set of integer powers of an element  A of a group forms a subgroup containing  A, called the cyclic group generated by the element  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
cycsubgcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem cycsubgcl
Dummy variables  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubg.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 cycsubg.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2mulgcl 14600 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
433expa 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
54an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
6 cycsubg.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
75, 6fmptd 5700 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F : ZZ --> X )
8 frn 5411 . . . 4  |-  ( F : ZZ --> X  ->  ran  F  C_  X )
97, 8syl 15 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  C_  X
)
10 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
11 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  .x.  A )  =  ( 1  .x. 
A ) )
12 ovex 5899 . . . . . . . 8  |-  ( 1 
.x.  A )  e. 
_V
1311, 6, 12fvmpt 5618 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( F `  1 )  =  ( 1  .x. 
A ) )
1410, 13ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F `
 1 )  =  ( 1  .x.  A
)
151, 2mulg1 14590 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  (
1  .x.  A )  =  A )
1615adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( 1  .x.  A
)  =  A )
1714, 16syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  1
)  =  A )
18 ffn 5405 . . . . . . 7  |-  ( F : ZZ --> X  ->  F  Fn  ZZ )
197, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F  Fn  ZZ )
20 fnfvelrn 5678 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( F `  1
)  e.  ran  F
)
2119, 10, 20sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  1
)  e.  ran  F
)
2217, 21eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ran  F
)
23 ne0i 3474 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
2422, 23syl 15 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =/=  (/) )
25 df-3an 936 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  <->  ( (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
) )
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
271, 2, 26mulgdir 14608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
m  +  n ) 
.x.  A )  =  ( ( m  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( n 
.x.  A ) ) )
2825, 27sylan2br 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( m  +  n )  .x.  A
)  =  ( ( m  .x.  A ) ( +g  `  G
) ( n  .x.  A ) ) )
2928anass1rs 782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  +  n )  .x.  A
)  =  ( ( m  .x.  A ) ( +g  `  G
) ( n  .x.  A ) ) )
30 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( m  +  n
)  e.  ZZ )
3130adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( m  +  n
)  e.  ZZ )
32 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( m  +  n )  ->  (
x  .x.  A )  =  ( ( m  +  n )  .x.  A ) )
33 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  +  n ) 
.x.  A )  e. 
_V
3432, 6, 33fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  ( m  +  n ) )  =  ( ( m  +  n )  .x.  A
) )
3531, 34syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
m  +  n ) )  =  ( ( m  +  n ) 
.x.  A ) )
36 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
x  .x.  A )  =  ( m  .x.  A ) )
37 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m 
.x.  A )  e. 
_V
3836, 6, 37fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( F `  m )  =  ( m  .x.  A ) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  m
)  =  ( m 
.x.  A ) )
40 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  (
x  .x.  A )  =  ( n  .x.  A ) )
41 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  A )  e. 
_V
4240, 6, 41fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  =  ( n  .x.  A ) )
4342ad2antll 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( n 
.x.  A ) )
4439, 43oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  =  ( ( m 
.x.  A ) ( +g  `  G ) ( n  .x.  A
) ) )
4529, 35, 443eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
m  +  n ) )  =  ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) ( F `  n ) ) )
46 fnfvelrn 5678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  ZZ  /\  ( m  +  n
)  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( m  +  n
) )  e.  ran  F )
4719, 30, 46syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
m  +  n ) )  e.  ran  F
)
4845, 47eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F )
4948anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( F `  m
) ( +g  `  G
) ( F `  n ) )  e. 
ran  F )
5049ralrimiva 2639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F )
51 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F `  n )  ->  (
( F `  m
) ( +g  `  G
) v )  =  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) ) )
5251eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  n )  ->  (
( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  ( ( F `  m )
( +g  `  G ) ( F `  n
) )  e.  ran  F ) )
5352ralrn 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ZZ  ->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `
 m ) ( +g  `  G ) ( F `  n
) )  e.  ran  F ) )
5419, 53syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A. v  e. 
ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  <->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F ) )
5554adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  <->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F ) )
5650, 55mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F )
57 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
581, 2, 57mulgneg 14601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( -u m  .x.  A )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( m  .x.  A ) ) )
59583expa 1151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( -u m  .x.  A )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
m  .x.  A )
) )
6059an32s 779 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u m  .x.  A )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
m  .x.  A )
) )
61 znegcl 10071 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  -u m  e.  ZZ )
6261adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u m  e.  ZZ )
63 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u m  ->  (
x  .x.  A )  =  ( -u m  .x.  A ) )
64 ovex 5899 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u m  .x.  A )  e. 
_V
6563, 6, 64fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( -u m  e.  ZZ  ->  ( F `  -u m
)  =  ( -u m  .x.  A ) )
6662, 65syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  =  (
-u m  .x.  A
) )
6738adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m )  =  ( m  .x.  A ) )
6867fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( F `  m ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
m  .x.  A )
) )
6960, 66, 683eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
) )
70 fnfvelrn 5678 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ZZ  /\  -u m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  e.  ran  F )
7119, 61, 70syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  e.  ran  F )
7269, 71eqeltrrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( F `  m ) )  e. 
ran  F )
7356, 72jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) )
7473ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  A. m  e.  ZZ  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) )
75 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  =  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v ) )
7675eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  ( ( F `  m )
( +g  `  G ) v )  e.  ran  F ) )
7776ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F ) )
78 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( inv g `  G ) `  u
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( F `  m ) ) )
7978eleq1d 2362 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F  <->  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) )
8077, 79anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( A. v  e. 
ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
)  <->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) ) )
8180ralrn 5684 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ZZ  ->  ( A. u  e.  ran  F ( A. v  e. 
ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
)  <->  A. m  e.  ZZ  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) ) )
8219, 81syl 15 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e. 
ran  F ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
)  <->  A. m  e.  ZZ  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) ) )
8374, 82mpbird 223 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  A. u  e.  ran  F ( A. v  e. 
ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
) )
841, 26, 57issubg2 14652 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ran  F 
C_  X  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  A. u  e.  ran  F ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
) ) ) )
8584adantr 451 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ran  F  C_  X  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  A. u  e.  ran  F ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
) ) ) )
869, 24, 83, 85mpbir3and 1135 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  e.  (SubGrp `  G ) )
8786, 22jca 518 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   -ucneg 9054   ZZcz 10040   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378   inv gcminusg 14379  .gcmg 14382  SubGrpcsubg 14631
This theorem is referenced by:  cycsubg  14661  oddvds2  14895  cycsubgcyg  15203
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-subg 14634
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