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Theorem cycsubgcl 14894
Description: The set of integer powers of an element  A of a group forms a subgroup containing  A, called the cyclic group generated by the element  A. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
cycsubg.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cycsubg.f  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
cycsubgcl  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .x.    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem cycsubgcl
Dummy variables  m  n  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubg.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 cycsubg.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2mulgcl 14835 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  (
x  .x.  A )  e.  X )
433expa 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
54an32s 780 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  .x.  A )  e.  X
)
6 cycsubg.f . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  .x.  A ) )
75, 6fmptd 5833 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F : ZZ --> X )
8 frn 5538 . . . 4  |-  ( F : ZZ --> X  ->  ran  F  C_  X )
97, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  C_  X
)
10 1z 10244 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
11 oveq1 6028 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  .x.  A )  =  ( 1  .x. 
A ) )
12 ovex 6046 . . . . . . . 8  |-  ( 1 
.x.  A )  e. 
_V
1311, 6, 12fvmpt 5746 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  ( F `  1 )  =  ( 1  .x. 
A ) )
1410, 13ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( F `
 1 )  =  ( 1  .x.  A
)
151, 2mulg1 14825 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  X  ->  (
1  .x.  A )  =  A )
1615adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( 1  .x.  A
)  =  A )
1714, 16syl5eq 2432 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  1
)  =  A )
18 ffn 5532 . . . . . . 7  |-  ( F : ZZ --> X  ->  F  Fn  ZZ )
197, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  F  Fn  ZZ )
20 fnfvelrn 5807 . . . . . 6  |-  ( ( F  Fn  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( F `  1
)  e.  ran  F
)
2119, 10, 20sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( F `  1
)  e.  ran  F
)
2217, 21eqeltrrd 2463 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  A  e.  ran  F
)
23 ne0i 3578 . . . 4  |-  ( A  e.  ran  F  ->  ran  F  =/=  (/) )
2422, 23syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  =/=  (/) )
25 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  <->  ( (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
) )
26 eqid 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
271, 2, 26mulgdir 14843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
m  +  n ) 
.x.  A )  =  ( ( m  .x.  A ) ( +g  `  G ) ( n 
.x.  A ) ) )
2825, 27sylan2br 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( m  +  n )  .x.  A
)  =  ( ( m  .x.  A ) ( +g  `  G
) ( n  .x.  A ) ) )
2928anass1rs 783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  +  n )  .x.  A
)  =  ( ( m  .x.  A ) ( +g  `  G
) ( n  .x.  A ) ) )
30 zaddcl 10250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( m  +  n
)  e.  ZZ )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( m  +  n
)  e.  ZZ )
32 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( m  +  n )  ->  (
x  .x.  A )  =  ( ( m  +  n )  .x.  A ) )
33 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  +  n ) 
.x.  A )  e. 
_V
3432, 6, 33fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  ( m  +  n ) )  =  ( ( m  +  n )  .x.  A
) )
3531, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
m  +  n ) )  =  ( ( m  +  n ) 
.x.  A ) )
36 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  m  ->  (
x  .x.  A )  =  ( m  .x.  A ) )
37 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m 
.x.  A )  e. 
_V
3836, 6, 37fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ZZ  ->  ( F `  m )  =  ( m  .x.  A ) )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  m
)  =  ( m 
.x.  A ) )
40 oveq1 6028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  n  ->  (
x  .x.  A )  =  ( n  .x.  A ) )
41 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  A )  e. 
_V
4240, 6, 41fvmpt 5746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  =  ( n  .x.  A ) )
4342ad2antll 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  n
)  =  ( n 
.x.  A ) )
4439, 43oveq12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  =  ( ( m 
.x.  A ) ( +g  `  G ) ( n  .x.  A
) ) )
4529, 35, 443eqtr4d 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
m  +  n ) )  =  ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) ( F `  n ) ) )
46 fnfvelrn 5807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  Fn  ZZ  /\  ( m  +  n
)  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( m  +  n
) )  e.  ran  F )
4719, 30, 46syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
m  +  n ) )  e.  ran  F
)
4845, 47eqeltrrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F )
4948anassrs 630 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( F `  m
) ( +g  `  G
) ( F `  n ) )  e. 
ran  F )
5049ralrimiva 2733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F )
51 oveq2 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  ( F `  n )  ->  (
( F `  m
) ( +g  `  G
) v )  =  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) ) )
5251eleq1d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  n )  ->  (
( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  ( ( F `  m )
( +g  `  G ) ( F `  n
) )  e.  ran  F ) )
5352ralrn 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ZZ  ->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `
 m ) ( +g  `  G ) ( F `  n
) )  e.  ran  F ) )
5419, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A. v  e. 
ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  <->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F ) )
5554adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  <->  A. n  e.  ZZ  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) ( F `
 n ) )  e.  ran  F ) )
5650, 55mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F )
57 eqid 2388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
581, 2, 57mulgneg 14836 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( -u m  .x.  A )  =  ( ( inv g `  G ) `
 ( m  .x.  A ) ) )
59583expa 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  e.  X
)  ->  ( -u m  .x.  A )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
m  .x.  A )
) )
6059an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( -u m  .x.  A )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
m  .x.  A )
) )
61 znegcl 10246 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  -u m  e.  ZZ )
6261adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  -u m  e.  ZZ )
63 oveq1 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  -u m  ->  (
x  .x.  A )  =  ( -u m  .x.  A ) )
64 ovex 6046 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u m  .x.  A )  e. 
_V
6563, 6, 64fvmpt 5746 . . . . . . . . 9  |-  ( -u m  e.  ZZ  ->  ( F `  -u m
)  =  ( -u m  .x.  A ) )
6662, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  =  (
-u m  .x.  A
) )
6738adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  m )  =  ( m  .x.  A ) )
6867fveq2d 5673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( F `  m ) )  =  ( ( inv g `  G ) `  (
m  .x.  A )
) )
6960, 66, 683eqtr4d 2430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  =  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
) )
70 fnfvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ZZ  /\  -u m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  e.  ran  F )
7119, 61, 70syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( F `  -u m )  e.  ran  F )
7269, 71eqeltrrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( inv g `  G ) `
 ( F `  m ) )  e. 
ran  F )
7356, 72jca 519 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) )
7473ralrimiva 2733 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  A. m  e.  ZZ  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) )
75 oveq1 6028 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  =  ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v ) )
7675eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( u ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  ( ( F `  m )
( +g  `  G ) v )  e.  ran  F ) )
7776ralbidv 2670 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  <->  A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F ) )
78 fveq2 5669 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( inv g `  G ) `  u
)  =  ( ( inv g `  G
) `  ( F `  m ) ) )
7978eleq1d 2454 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F  <->  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) )
8077, 79anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  m )  ->  (
( A. v  e. 
ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
)  <->  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) ) )
8180ralrn 5813 . . . . 5  |-  ( F  Fn  ZZ  ->  ( A. u  e.  ran  F ( A. v  e. 
ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
)  <->  A. m  e.  ZZ  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) ) )
8219, 81syl 16 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( A. u  e. 
ran  F ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
)  <->  A. m  e.  ZZ  ( A. v  e.  ran  F ( ( F `  m ) ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  ( F `  m )
)  e.  ran  F
) ) )
8374, 82mpbird 224 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  A. u  e.  ran  F ( A. v  e. 
ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
) )
841, 26, 57issubg2 14887 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ran  F 
C_  X  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  A. u  e.  ran  F ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G
) v )  e. 
ran  F  /\  (
( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
) ) ) )
8584adantr 452 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  <->  ( ran  F  C_  X  /\  ran  F  =/=  (/)  /\  A. u  e.  ran  F ( A. v  e.  ran  F ( u ( +g  `  G ) v )  e.  ran  F  /\  ( ( inv g `  G ) `  u
)  e.  ran  F
) ) ) )
869, 24, 83, 85mpbir3and 1137 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ran  F  e.  (SubGrp `  G ) )
8786, 22jca 519 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  X )  ->  ( ran  F  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  ran  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650    C_ wss 3264   (/)c0 3572    e. cmpt 4208   ran crn 4820    Fn wfn 5390   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   1c1 8925    + caddc 8927   -ucneg 9225   ZZcz 10215   Basecbs 13397   +g cplusg 13457   Grpcgrp 14613   inv gcminusg 14614  .gcmg 14617  SubGrpcsubg 14866
This theorem is referenced by:  cycsubg  14896  oddvds2  15130  cycsubgcyg  15438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-fz 10977  df-seq 11252  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-mulg 14743  df-subg 14869
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