MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubgcyg2 Structured version   Unicode version

Theorem cycsubgcyg2 15516
Description: The cyclic subgroup generated by  A is a cyclic group. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubgcyg2.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cycsubgcyg2.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
Assertion
Ref Expression
cycsubgcyg2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  B )  ->  ( Gs  ( K `  { A } ) )  e. CycGrp )

Proof of Theorem cycsubgcyg2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubgcyg2.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) A ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) A ) )
4 cycsubgcyg2.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
51, 2, 3, 4cycsubg2 14982 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  B )  ->  ( K `  { A } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) A ) ) )
65oveq2d 6100 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  B )  ->  ( Gs  ( K `  { A } ) )  =  ( Gs  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) A ) ) ) )
7 eqid 2438 . . 3  |-  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) A ) )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) A ) )
81, 2, 7cycsubgcyg 15515 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  B )  ->  ( Gs  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) A ) ) )  e. CycGrp )
96, 8eqeltrd 2512 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  A  e.  B )  ->  ( Gs  ( K `  { A } ) )  e. CycGrp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   {csn 3816    e. cmpt 4269   ran crn 4882   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   ZZcz 10287   Basecbs 13474   ↾s cress 13475  mrClscmrc 13813   Grpcgrp 14690  .gcmg 14694  SubGrpcsubg 14943  CycGrpccyg 15492
This theorem is referenced by:  pgpfaclem1  15644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-seq 11329  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-cyg 15493
  Copyright terms: Public domain W3C validator