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Theorem cygabl 15429
Description: A cyclic group is abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygabl  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Abel )

Proof of Theorem cygabl
Dummy variables  m  n  x  y  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . 3  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
2 eqid 2389 . . 3  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2iscyg3 15425 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  (
Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) ) )
4 eqidd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  G
) )
5 eqidd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
6 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  G  e.  Grp )
7 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  a  ->  (
y  =  ( n (.g `  G ) x )  <->  a  =  ( n (.g `  G ) x ) ) )
87rexbidv 2672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  a  ->  ( E. n  e.  ZZ  y  =  ( n
(.g `  G ) x )  <->  E. n  e.  ZZ  a  =  ( n
(.g `  G ) x ) ) )
9 oveq1 6029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
n (.g `  G ) x )  =  ( m (.g `  G ) x ) )
109eqeq2d 2400 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
a  =  ( n (.g `  G ) x )  <->  a  =  ( m (.g `  G ) x ) ) )
1110cbvrexv 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. n  e.  ZZ  a  =  ( n (.g `  G ) x )  <->  E. m  e.  ZZ  a  =  ( m
(.g `  G ) x ) )
128, 11syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  a  ->  ( E. n  e.  ZZ  y  =  ( n
(.g `  G ) x )  <->  E. m  e.  ZZ  a  =  ( m
(.g `  G ) x ) ) )
1312rspccv 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x )  ->  ( a  e.  ( Base `  G
)  ->  E. m  e.  ZZ  a  =  ( m (.g `  G ) x ) ) )
1413adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  (
a  e.  ( Base `  G )  ->  E. m  e.  ZZ  a  =  ( m (.g `  G ) x ) ) )
15 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  b  ->  (
y  =  ( n (.g `  G ) x )  <->  b  =  ( n (.g `  G ) x ) ) )
1615rexbidv 2672 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  b  ->  ( E. n  e.  ZZ  y  =  ( n
(.g `  G ) x )  <->  E. n  e.  ZZ  b  =  ( n
(.g `  G ) x ) ) )
1716rspccv 2994 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x )  ->  ( b  e.  ( Base `  G
)  ->  E. n  e.  ZZ  b  =  ( n (.g `  G ) x ) ) )
1817adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  (
b  e.  ( Base `  G )  ->  E. n  e.  ZZ  b  =  ( n (.g `  G ) x ) ) )
19 reeanv 2820 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  b  =  ( n (.g `  G
) x ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  E. n  e.  ZZ  b  =  ( n (.g `  G ) x ) ) )
20 zcn 10221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
2120ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  CC )
22 zcn 10221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
2322ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
2421, 23addcomd 9202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( m  +  n )  =  ( n  +  m ) )
2524oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  +  n ) (.g `  G ) x )  =  ( ( n  +  m ) (.g `  G ) x ) )
26 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
27 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
28 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
29 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  x  e.  ( Base `  G )
)
30 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
311, 2, 30mulgdir 14844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  x  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( m  +  n ) (.g `  G ) x )  =  ( ( m (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( n (.g `  G ) x ) ) )
3226, 27, 28, 29, 31syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m  +  n ) (.g `  G ) x )  =  ( ( m (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( n (.g `  G ) x ) ) )
331, 2, 30mulgdir 14844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( n  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ  /\  x  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( n  +  m ) (.g `  G ) x )  =  ( ( n (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( m (.g `  G ) x ) ) )
3426, 28, 27, 29, 33syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  +  m ) (.g `  G ) x )  =  ( ( n (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( m (.g `  G ) x ) ) )
3525, 32, 343eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
m (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( n (.g `  G ) x ) )  =  ( ( n (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( m (.g `  G ) x ) ) )
36 oveq12 6031 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  b  =  ( n (.g `  G
) x ) )  ->  ( a ( +g  `  G ) b )  =  ( ( m (.g `  G
) x ) ( +g  `  G ) ( n (.g `  G
) x ) ) )
37 oveq12 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  ( n (.g `  G ) x )  /\  a  =  ( m (.g `  G
) x ) )  ->  ( b ( +g  `  G ) a )  =  ( ( n (.g `  G
) x ) ( +g  `  G ) ( m (.g `  G
) x ) ) )
3837ancoms 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  b  =  ( n (.g `  G
) x ) )  ->  ( b ( +g  `  G ) a )  =  ( ( n (.g `  G
) x ) ( +g  `  G ) ( m (.g `  G
) x ) ) )
3936, 38eqeq12d 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  b  =  ( n (.g `  G
) x ) )  ->  ( ( a ( +g  `  G
) b )  =  ( b ( +g  `  G ) a )  <-> 
( ( m (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( n (.g `  G ) x ) )  =  ( ( n (.g `  G ) x ) ( +g  `  G
) ( m (.g `  G ) x ) ) ) )
4035, 39syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  b  =  ( n (.g `  G
) x ) )  ->  ( a ( +g  `  G ) b )  =  ( b ( +g  `  G
) a ) ) )
4140rexlimdvva 2782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( a  =  ( m (.g `  G
) x )  /\  b  =  ( n
(.g `  G ) x ) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( b ( +g  `  G ) a ) ) )
4219, 41syl5bir 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( E. m  e.  ZZ  a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  E. n  e.  ZZ  b  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( b ( +g  `  G ) a ) ) )
4342adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  (
( E. m  e.  ZZ  a  =  ( m (.g `  G ) x )  /\  E. n  e.  ZZ  b  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  (
a ( +g  `  G
) b )  =  ( b ( +g  `  G ) a ) ) )
4414, 18, 43syl2and 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  (
( a  e.  (
Base `  G )  /\  b  e.  ( Base `  G ) )  ->  ( a ( +g  `  G ) b )  =  ( b ( +g  `  G
) a ) ) )
45443impib 1151 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Grp  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  /\  A. y  e.  ( Base `  G
) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  /\  a  e.  ( Base `  G
)  /\  b  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( a
( +g  `  G ) b )  =  ( b ( +g  `  G
) a ) )
464, 5, 6, 45isabld 15354 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  G  e.  Abel )
4746ex 424 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( A. y  e.  ( Base `  G
) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x )  ->  G  e.  Abel ) )
4847rexlimdva 2775 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G ) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x )  ->  G  e.  Abel ) )
4948imp 419 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  E. x  e.  ( Base `  G ) A. y  e.  ( Base `  G
) E. n  e.  ZZ  y  =  ( n (.g `  G ) x ) )  ->  G  e.  Abel )
503, 49sylbi 188 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Abel )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2651   E.wrex 2652   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   CCcc 8923    + caddc 8928   ZZcz 10216   Basecbs 13398   +g cplusg 13458   Grpcgrp 14614  .gcmg 14618   Abelcabel 15342  CycGrpccyg 15416
This theorem is referenced by:  lt6abl  15433  frgpcyg  16779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-fz 10978  df-seq 11253  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-mulg 14744  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-cyg 15417
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