MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygctb Unicode version

Theorem cygctb 15430
Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cygctb  |-  ( G  e. CycGrp  ->  B  ~<_  om )

Proof of Theorem cygctb
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2389 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2iscyg 15418 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B ) )
43simprbi 451 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B )
5 ovex 6047 . . . . . 6  |-  ( n (.g `  G ) x )  e.  _V
6 eqid 2389 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )
75, 6fnmpti 5515 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  Fn  ZZ
8 df-fo 5402 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) ) : ZZ -onto-> B 
<->  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  Fn  ZZ  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B ) )
97, 8mpbiran 885 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) ) : ZZ -onto-> B 
<->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B )
10 omelon 7536 . . . . . . . 8  |-  om  e.  On
11 onenon 7771 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  om  e.  dom  card
13 znnen 12741 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
14 nnenom 11248 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1513, 14entri 7099 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
16 ennum 7769 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
~~  om  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  om  e.  dom  card ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  om  e.  dom  card )
1812, 17mpbir 201 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  dom  card
19 fodomnum 7873 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  ZZ ) )
2018, 19mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  ZZ ) )
21 domentr 7104 . . . . . 6  |-  ( ( B  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2215, 21mpan2 653 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  ZZ  ->  B  ~<_  om )
2320, 22syl6 31 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  om ) )
249, 23syl5bir 210 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B  ->  B  ~<_  om ) )
2524rexlimdva 2775 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  ( E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B  ->  B  ~<_  om )
)
264, 25mpd 15 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  B  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2652   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   Oncon0 4524   omcom 4787   dom cdm 4820   ran crn 4821    Fn wfn 5391   -onto->wfo 5394   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    ~~ cen 7044    ~<_ cdom 7045   cardccrd 7757   NNcn 9934   ZZcz 10216   Basecbs 13398   Grpcgrp 14614  .gcmg 14618  CycGrpccyg 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-cyg 15417
  Copyright terms: Public domain W3C validator