MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygctb Unicode version

Theorem cygctb 15194
Description: A cyclic group is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
cygctb  |-  ( G  e. CycGrp  ->  B  ~<_  om )

Proof of Theorem cygctb
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2296 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2iscyg 15182 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B ) )
43simprbi 450 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B )
5 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( n (.g `  G ) x )  e.  _V
6 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )
75, 6fnmpti 5388 . . . . 5  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  Fn  ZZ
8 df-fo 5277 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) ) : ZZ -onto-> B 
<->  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  Fn  ZZ  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B ) )
97, 8mpbiran 884 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) ) : ZZ -onto-> B 
<->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B )
10 omelon 7363 . . . . . . . 8  |-  om  e.  On
11 onenon 7598 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  om  e.  dom  card )
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  om  e.  dom  card
13 znnen 12507 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  ~~  NN
14 nnenom 11058 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
1513, 14entri 6931 . . . . . . . 8  |-  ZZ  ~~  om
16 ennum 7596 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ 
~~  om  ->  ( ZZ  e.  dom  card  <->  om  e.  dom  card ) )
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  dom  card  <->  om  e.  dom  card )
1812, 17mpbir 200 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  dom  card
19 fodomnum 7700 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  dom  card  ->  ( ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  ZZ ) )
2018, 19mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  ZZ ) )
21 domentr 6936 . . . . . 6  |-  ( ( B  ~<_  ZZ  /\  ZZ  ~~  om )  ->  B  ~<_  om )
2215, 21mpan2 652 . . . . 5  |-  ( B  ~<_  ZZ  ->  B  ~<_  om )
2320, 22syl6 29 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  (
( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) ) : ZZ -onto-> B  ->  B  ~<_  om ) )
249, 23syl5bir 209 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  x  e.  B )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B  ->  B  ~<_  om ) )
2524rexlimdva 2680 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  ( E. x  e.  B  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B  ->  B  ~<_  om )
)
264, 25mpd 14 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  B  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Oncon0 4408   omcom 4672   dom cdm 4705   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876    ~<_ cdom 6877   cardccrd 7584   NNcn 9762   ZZcz 10040   Basecbs 13164   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382  CycGrpccyg 15180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-cyg 15181
  Copyright terms: Public domain W3C validator