Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggenod Structured version   Unicode version

Theorem cyggenod 15496
 Description: An element is the generator of a finite group iff the order of the generator equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
iscyg.1
iscyg.2 .g
iscyg3.e
cyggenod.o
Assertion
Ref Expression
cyggenod
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()

Proof of Theorem cyggenod
StepHypRef Expression
1 iscyg.1 . . 3
2 iscyg.2 . . 3 .g
3 iscyg3.e . . 3
41, 2, 3iscyggen 15492 . 2
5 simplr 733 . . . . . 6
6 simplll 736 . . . . . . . . 9
7 simpr 449 . . . . . . . . 9
8 simplr 733 . . . . . . . . 9
91, 2mulgcl 14909 . . . . . . . . 9
106, 7, 8, 9syl3anc 1185 . . . . . . . 8
11 eqid 2438 . . . . . . . 8
1210, 11fmptd 5895 . . . . . . 7
13 frn 5599 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 ssfi 7331 . . . . . 6
165, 14, 15syl2anc 644 . . . . 5
17 hashen 11633 . . . . 5
1816, 5, 17syl2anc 644 . . . 4
19 cyggenod.o . . . . . . . 8
201, 19, 2, 11dfod2 15202 . . . . . . 7
2120adantlr 697 . . . . . 6
22 iftrue 3747 . . . . . . 7
2316, 22syl 16 . . . . . 6
2421, 23eqtr2d 2471 . . . . 5
2524eqeq1d 2446 . . . 4
26 fisseneq 7322 . . . . . . 7
27263expia 1156 . . . . . 6
28 enrefg 7141 . . . . . . . 8
2928adantr 453 . . . . . . 7
30 breq1 4217 . . . . . . 7
3129, 30syl5ibrcom 215 . . . . . 6
3227, 31impbid 185 . . . . 5
335, 14, 32syl2anc 644 . . . 4
3418, 25, 333bitr3rd 277 . . 3
3534pm5.32da 624 . 2
364, 35syl5bb 250 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   cen 7108  cfn 7111  cc0 8992  cz 10284  chash 11620  cbs 13471  cgrp 14687  .gcmg 14691  cod 15165 This theorem is referenced by:  iscygodd  15500  cyggexb  15510 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-od 15169
 Copyright terms: Public domain W3C validator