MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggex2 Structured version   Unicode version

Theorem cyggex2 15498
Description: The exponent of a cyclic group is  0 if the group is infinite, otherwise it equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1  |-  B  =  ( Base `  G
)
cyggex.o  |-  E  =  (gEx `  G )
Assertion
Ref Expression
cyggex2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )

Proof of Theorem cyggex2
Dummy variables  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2435 . . 3  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2435 . . 3  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyg2 15484 . 2  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
5 n0 3629 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
6 ssrab2 3420 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  C_  B
7 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
86, 7sseldi 3338 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  y  e.  B
)
9 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
101, 2, 3, 9cyggenod2 15487 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( ( od
`  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
118, 10jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `
 y )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
1211ex 424 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) ) )
13 cyggex.o . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
141, 13gexcl 15206 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  E  e.  NN0 )
1514adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  e.  NN0 )
16 hashcl 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
1716adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
18 0nn0 10228 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
1918a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
2017, 19ifclda 3758 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  e. 
NN0 )
21 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  B )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  ->  ( E  ||  ( # `  B )  <-> 
E  ||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
22 breq2 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  -> 
( E  ||  0  <->  E 
||  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
231, 13gexdvds3 15216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin )  ->  E  ||  ( # `  B ) )
2423adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  B  e. 
Fin )  ->  E  ||  ( # `  B
) )
2515adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  e.  NN0 )
26 nn0z 10296 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  NN0  ->  E  e.  ZZ )
27 dvds0 12857 . . . . . . . . . 10  |-  ( E  e.  ZZ  ->  E  ||  0 )
2825, 26, 273syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E  ||  0 )
2921, 22, 24, 28ifbothda 3761 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  ||  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
30 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
311, 13, 9gexod 15212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( od `  G ) `  y
)  ||  E )
3231adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  ( ( od `  G ) `  y )  ||  E
)
3330, 32eqbrtrrd 4226 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 )  ||  E )
34 dvdseq 12889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E  e.  NN0  /\  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )  /\  ( E  ||  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 )  /\  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) 
||  E ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3515, 20, 29, 33, 34syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
3635ex 424 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( y  e.  B  /\  ( ( od `  G ) `  y
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
3712, 36syld 42 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
3837exlimdv 1646 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( E. y  y  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  (
# `  B ) ,  0 ) ) )
395, 38syl5bi 209 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/)  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
4039imp 419 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/) )  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
414, 40sylbi 188 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E  =  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   (/)c0 3620   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   0cc0 8982   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   #chash 11610    || cdivides 12844   Basecbs 13461   Grpcgrp 14677  .gcmg 14681   odcod 15155  gExcgex 15156  CycGrpccyg 15479
This theorem is referenced by:  cyggex  15499
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-od 15159  df-gex 15160  df-cyg 15480
  Copyright terms: Public domain W3C validator