Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggexb Structured version   Unicode version

Theorem cyggexb 15498
 Description: A finite abelian group is cyclic iff the exponent equals the order of the group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.1
cyggex.o gEx
Assertion
Ref Expression
cyggexb CycGrp

Proof of Theorem cyggexb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygctb.1 . . . . 5
2 cyggex.o . . . . 5 gEx
31, 2cyggex 15497 . . . 4 CycGrp
43expcom 425 . . 3 CycGrp
6 simpll 731 . . . . 5
7 ablgrp 15407 . . . . . . 7
87ad2antrr 707 . . . . . 6
9 simplr 732 . . . . . 6
101, 2gexcl2 15213 . . . . . 6
118, 9, 10syl2anc 643 . . . . 5
12 eqid 2435 . . . . . 6
131, 2, 12gexex 15458 . . . . 5
146, 11, 13syl2anc 643 . . . 4
15 simplr 732 . . . . . . 7
1615eqeq2d 2446 . . . . . 6
17 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 .g .g
18 eqid 2435 . . . . . . . . . 10 .g .g
191, 17, 18, 12cyggenod 15484 . . . . . . . . 9 .g
208, 9, 19syl2anc 643 . . . . . . . 8 .g
21 ne0i 3626 . . . . . . . . 9 .g .g
221, 17, 18iscyg2 15482 . . . . . . . . . . 11 CycGrp .g
2322baib 872 . . . . . . . . . 10 CycGrp .g
248, 23syl 16 . . . . . . . . 9 CycGrp .g
2521, 24syl5ibr 213 . . . . . . . 8 .g CycGrp
2620, 25sylbird 227 . . . . . . 7 CycGrp
2726expdimp 427 . . . . . 6 CycGrp
2816, 27sylbid 207 . . . . 5 CycGrp
2928rexlimdva 2822 . . . 4 CycGrp
3014, 29mpd 15 . . 3 CycGrp
3130ex 424 . 2 CycGrp
325, 31impbid 184 1 CycGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698  crab 2701  c0 3620   cmpt 4258   crn 4871  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cn 9990  cz 10272  chash 11608  cbs 13459  cgrp 14675  .gcmg 14679  cod 15153  gExcgex 15154  cabel 15403  CycGrpccyg 15477 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-acn 7819  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mnd 14680  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-eqg 14933  df-od 15157  df-gex 15158  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-cyg 15478
 Copyright terms: Public domain W3C validator