MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cyggic Unicode version

Theorem cyggic 16542
Description: Cyclic groups are isomorphic precisely when they have the same order. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygctb.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygctb.c  |-  C  =  ( Base `  H
)
Assertion
Ref Expression
cyggic  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp
)  ->  ( G  ~=ph𝑔  H  <-> 
B  ~~  C )
)

Proof of Theorem cyggic
StepHypRef Expression
1 cygctb.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 cygctb.c . . 3  |-  C  =  ( Base `  H
)
31, 2gicen 14757 . 2  |-  ( G 
~=ph𝑔  H  ->  B  ~~  C
)
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 )  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )
61, 4, 5cygzn 16540 . . . . 5  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
76ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) ) )
8 enfi 7095 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  C  ->  ( B  e.  Fin  <->  C  e.  Fin ) )
98adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  ( B  e.  Fin  <->  C  e.  Fin ) )
10 hasheni 11363 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  C  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  C
) )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  C
) )
12 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  0  =  0 )
139, 11, 12ifbieq12d 3600 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  =  if ( C  e.  Fin ,  (
# `  C ) ,  0 ) )
1413fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) ) )
15 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  if ( C  e.  Fin , 
( # `  C ) ,  0 )  =  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 )
16 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )
172, 15, 16cygzn 16540 . . . . . . 7  |-  ( H  e. CycGrp  ->  H  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) ) )
1817ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  H  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) ) )
19 gicsym 14754 . . . . . 6  |-  ( H 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  ->  (ℤ/n `  if ( C  e. 
Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  (ℤ/n `  if ( C  e.  Fin ,  ( # `  C
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )
2114, 20eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )
22 gictr 14755 . . . 4  |-  ( ( G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  /\  (ℤ/n `  if ( B  e.  Fin ,  ( # `  B
) ,  0 ) )  ~=ph𝑔 
H )  ->  G  ~=ph𝑔  H )
237, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp )  /\  B  ~~  C )  ->  G  ~=ph𝑔  H )
2423ex 423 . 2  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp
)  ->  ( B  ~~  C  ->  G  ~=ph𝑔  H ) )
253, 24impbid2 195 1  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  H  e. CycGrp
)  ->  ( G  ~=ph𝑔  H  <-> 
B  ~~  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271    ~~ cen 6876   Fincfn 6879   0cc0 8753   #chash 11353   Basecbs 13164    ~=ph𝑔 cgic 14738  CycGrpccyg 15180  ℤ/nczn 16470
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-gic 14740  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-cyg 15181  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474
  Copyright terms: Public domain W3C validator