MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygth Unicode version

Theorem cygth 16525
Description: The "fundamental theorem of cyclic groups". Cyclic groups are exactly the additive groups  ZZ  /  n ZZ, for 
0  <_  n (where  n  =  0 is the infinite cyclic group 
ZZ), up to isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
cygth  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  E. n  e.  NN0  G 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  n ) )
Distinct variable group:    n, G

Proof of Theorem cygth
StepHypRef Expression
1 hashcl 11350 . . . . 5  |-  ( (
Base `  G )  e.  Fin  ->  ( # `  ( Base `  G ) )  e.  NN0 )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  ( Base `  G )  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( Base `  G
) )  e.  NN0 )
3 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
43a1i 10 . . . 4  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  -.  ( Base `  G )  e. 
Fin )  ->  0  e.  NN0 )
52, 4ifclda 3592 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp  ->  if ( (
Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G
) ) ,  0 )  e.  NN0 )
6 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 )  =  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) )  =  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) )
96, 7, 8cygzn 16524 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) )
10 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( n  =  if ( (
Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G
) ) ,  0 )  ->  (ℤ/n `  n )  =  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) )
1110breq2d 4035 . . . 4  |-  ( n  =  if ( (
Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G
) ) ,  0 )  ->  ( G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  n )  <->  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) ) )
1211rspcev 2884 . . 3  |-  ( ( if ( ( Base `  G )  e.  Fin ,  ( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 )  e. 
NN0  /\  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  if ( ( Base `  G
)  e.  Fin , 
( # `  ( Base `  G ) ) ,  0 ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  G 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  n ) )
135, 9, 12syl2anc 642 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. n  e.  NN0  G 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  n ) )
14 gicsym 14738 . . . 4  |-  ( G 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  n )  ->  (ℤ/n `  n
)  ~=ph𝑔 
G )
15 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (ℤ/n `  n
)  =  (ℤ/n `  n
)
1615zncyg 16502 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  (ℤ/n `  n
)  e. CycGrp )
17 giccyg 15186 . . . . 5  |-  ( (ℤ/n `  n )  ~=ph𝑔 
G  ->  ( (ℤ/n `  n
)  e. CycGrp  ->  G  e. CycGrp
) )
1816, 17syl5com 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( (ℤ/n `  n )  ~=ph𝑔 
G  ->  G  e. CycGrp ) )
1914, 18syl5 28 . . 3  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( G 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  n )  ->  G  e. CycGrp ) )
2019rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. n  e.  NN0  G  ~=ph𝑔  (ℤ/n `  n )  ->  G  e. CycGrp )
2113, 20impbii 180 1  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  E. n  e.  NN0  G 
~=ph𝑔  (ℤ/n `  n ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   Fincfn 6863   0cc0 8737   NN0cn0 9965   #chash 11337   Basecbs 13148    ~=ph𝑔 cgic 14722  CycGrpccyg 15164  ℤ/nczn 16454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-gic 14724  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458
  Copyright terms: Public domain W3C validator