MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygzn Structured version   Unicode version

Theorem cygzn 16853
Description: A cyclic group with  n elements is isomorphic to  ZZ  /  n ZZ, and an infinite cyclic group is isomorphic to  ZZ 
/  0 ZZ  ~~  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
cygzn  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )

Proof of Theorem cygzn
Dummy variables  g  m  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cygzn.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
41, 2, 3iscyg2 15494 . . . 4  |-  ( G  e. CycGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\ 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) ) )
54simprbi 452 . . 3  |-  ( G  e. CycGrp  ->  { x  e.  B  |  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }  =/=  (/) )
6 n0 3639 . . 3  |-  ( { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B }  =/=  (/)  <->  E. g  g  e.  {
x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
75, 6sylib 190 . 2  |-  ( G  e. CycGrp  ->  E. g  g  e. 
{ x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)
8 cygzn.n . . 3  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
9 cygzn.y . . 3  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
10 eqid 2438 . . 3  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
11 simpl 445 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)  ->  G  e. CycGrp )
12 simpr 449 . . 3  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)  ->  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G
) x ) )  =  B } )
13 eqid 2438 . . 3  |-  ran  (
m  e.  ZZ  |->  <.
( ( ZRHom `  Y ) `  m
) ,  ( m (.g `  G ) g ) >. )  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( ( ZRHom `  Y ) `  m
) ,  ( m (.g `  G ) g ) >. )
141, 8, 9, 2, 10, 3, 11, 12, 13cygznlem3 16852 . 2  |-  ( ( G  e. CycGrp  /\  g  e.  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  G ) x ) )  =  B }
)  ->  G  ~=ph𝑔  Y )
157, 14exlimddv 1649 1  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   {crab 2711   (/)c0 3630   ifcif 3741   <.cop 3819   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   0cc0 8992   ZZcz 10284   #chash 11620   Basecbs 13471   Grpcgrp 14687  .gcmg 14691    ~=ph𝑔 cgic 15047  CycGrpccyg 15489   ZRHomczrh 16780  ℤ/nczn 16783
This theorem is referenced by:  cygth  16854  cyggic  16855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-gic 15049  df-od 15169  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-cyg 15490  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-cnfld 16706  df-zrh 16784  df-zn 16787
  Copyright terms: Public domain W3C validator