MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Unicode version

Theorem cygznlem1 16520
Description: Lemma for cygzn 16524. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
Assertion
Ref Expression
cygznlem1  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
( K  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, B    n, G, x    .x. , n, x    n, Y, x    n, L, x    x, N    n, X, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, n)    K( x, n)    M( x, n)    N( n)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
2 hashcl 11350 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
32adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
4 0nn0 9980 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
54a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
63, 5ifclda 3592 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
71, 6syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
87adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  N  e.  NN0 )
9 simprl 732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  K  e.  ZZ )
10 simprr 733 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
11 cygzn.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
12 cygzn.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
1311, 12zndvds 16503 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
( L `  K
)  =  ( L `
 M )  <->  N  ||  ( K  -  M )
) )
148, 9, 10, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
N  ||  ( K  -  M ) ) )
15 cygzn.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
16 cyggrp 15176 . . . . . . 7  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
1715, 16syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
18 cygzn.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
19 cygzn.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  G
)
20 cygzn.m . . . . . . 7  |-  .x.  =  (.g
`  G )
21 cygzn.e . . . . . . 7  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
22 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( od
`  G )  =  ( od `  G
)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 15172 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  E )  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )
2417, 18, 23syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  if ( B  e.  Fin , 
( # `  B ) ,  0 ) )
2524, 1syl6eqr 2333 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( od `  G ) `  X
)  =  N )
2625adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( od `  G ) `  X
)  =  N )
2726breq1d 4033 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  X )  ||  ( K  -  M )  <->  N 
||  ( K  -  M ) ) )
2817adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
2919, 20, 21iscyggen 15167 . . . . . 6  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
3029simplbi 446 . . . . 5  |-  ( X  e.  E  ->  X  e.  B )
3118, 30syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
3231adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  B )
33 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3419, 22, 20, 33odcong 14864 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  B  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( od `  G
) `  X )  ||  ( K  -  M
)  <->  ( K  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) ) )
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1186 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( od
`  G ) `  X )  ||  ( K  -  M )  <->  ( K  .x.  X )  =  ( M  .x.  X ) ) )
3614, 27, 353bitr2d 272 1  |-  ( (
ph  /\  ( K  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  K )  =  ( L `  M )  <-> 
( K  .x.  X
)  =  ( M 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   0cc0 8737    - cmin 9037   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   #chash 11337    || cdivides 12531   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   odcod 14840  CycGrpccyg 15164   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  16521  cygznlem3  16523
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458
  Copyright terms: Public domain W3C validator