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Theorem cygznlem3 16539
Description: A cyclic group with  n elements is isomorphic to  ZZ  /  n ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
cygzn.n  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
cygzn.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
cygzn.m  |-  .x.  =  (.g
`  G )
cygzn.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
cygzn.e  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
cygzn.g  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
cygzn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
cygzn.f  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
Assertion
Ref Expression
cygznlem3  |-  ( ph  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
Distinct variable groups:    m, n, x, B    m, G, n, x    .x. , m, n, x   
m, Y, n, x   
m, L, n, x   
x, N    ph, m    n, F, x    m, X, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    E( x, m, n)    F( m)    N( m, n)

Proof of Theorem cygznlem3
Dummy variables  a 
b  i  j  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
2 cygzn.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
5 cygzn.n . . . . . . 7  |-  N  =  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )
6 hashcl 11366 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
76adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `  B )  e.  NN0 )
8 0nn0 9996 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
98a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  0  e.  NN0 )
107, 9ifclda 3605 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  if ( B  e. 
Fin ,  ( # `  B
) ,  0 )  e.  NN0 )
115, 10syl5eqel 2380 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
12 cygzn.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
1312zncrng 16514 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
1411, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  CRing )
15 crngrng 15367 . . . . 5  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
16 rnggrp 15362 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
1714, 15, 163syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
18 cygzn.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. CycGrp )
19 cyggrp 15192 . . . . 5  |-  ( G  e. CycGrp  ->  G  e.  Grp )
2018, 19syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
21 cygzn.m . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
22 cygzn.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
23 cygzn.e . . . . 5  |-  E  =  { x  e.  B  |  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  x ) )  =  B }
24 cygzn.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  E )
25 cygzn.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( m  e.  ZZ  |->  <. ( L `  m ) ,  ( m  .x.  X )
>. )
262, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2a 16537 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) --> B )
2712, 1, 22znzrhfo 16517 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
2811, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y ) )
29 foelrn 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  a  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i ) )
3028, 29sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( Base `  Y )
)  ->  E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i ) )
31 foelrn 5695 . . . . . . 7  |-  ( ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  b  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )
3228, 31sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  b  e.  ( Base `  Y )
)  ->  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )
3330, 32anim12dan 810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )
34 reeanv 2720 . . . . . . 7  |-  ( E. i  e.  ZZ  E. j  e.  ZZ  (
a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  <->  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )
3520adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
36 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
i  e.  ZZ )
37 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
j  e.  ZZ )
382, 21, 23iscyggen 15183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  X ) )  =  B ) )
3938simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X  e.  E  ->  X  e.  B )
4024, 39syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
4140adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  B )
422, 21, 4mulgdir 14608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
i  +  j ) 
.x.  X )  =  ( ( i  .x.  X ) ( +g  `  G ) ( j 
.x.  X ) ) )
4335, 36, 37, 41, 42syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( i  +  j )  .x.  X
)  =  ( ( i  .x.  X ) ( +g  `  G
) ( j  .x.  X ) ) )
4414, 15syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
4645, 22zrhrhm 16482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
4744, 46syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y ) )
48 rhmghm 15519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Y )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) 
GrpHom  Y ) )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  ->  L  e.  ( (flds  ZZ )  GrpHom  Y ) )
51 zsubrg 16441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
5245subrgbas 15570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
54 zex 10049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ZZ  e.  _V
55 cnfldadd 16400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  +  =  ( +g  ` fld )
5645, 55ressplusg 13266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  (flds  ZZ )
) )
5754, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  +  =  ( +g  `  (flds  ZZ ) )
5853, 57, 3ghmlin 14704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) 
GrpHom  Y )  /\  i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( i  +  j ) )  =  ( ( L `
 i ) ( +g  `  Y ) ( L `  j
) ) )
5950, 36, 37, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( L `  (
i  +  j ) )  =  ( ( L `  i ) ( +g  `  Y
) ( L `  j ) ) )
6059fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  ( i  +  j ) ) )  =  ( F `
 ( ( L `
 i ) ( +g  `  Y ) ( L `  j
) ) ) )
61 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( i  +  j )  e.  ZZ )
622, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  +  j )  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( L `  ( i  +  j ) ) )  =  ( ( i  +  j )  .x.  X
) )
6361, 62sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  ( i  +  j ) ) )  =  ( ( i  +  j ) 
.x.  X ) )
6460, 63eqtr3d 2330 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
( L `  i
) ( +g  `  Y
) ( L `  j ) ) )  =  ( ( i  +  j )  .x.  X ) )
652, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  i ) )  =  ( i  .x.  X
) )
6665adantrr 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  i )
)  =  ( i 
.x.  X ) )
672, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24, 25cygznlem2 16538 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( F `
 ( L `  j ) )  =  ( j  .x.  X
) )
6867adantrl 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  ( L `  j )
)  =  ( j 
.x.  X ) )
6966, 68oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) ) ( +g  `  G
) ( F `  ( L `  j ) ) )  =  ( ( i  .x.  X
) ( +g  `  G
) ( j  .x.  X ) ) )
7043, 64, 693eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( F `  (
( L `  i
) ( +g  `  Y
) ( L `  j ) ) )  =  ( ( F `
 ( L `  i ) ) ( +g  `  G ) ( F `  ( L `  j )
) ) )
71 oveq12 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( a ( +g  `  Y ) b )  =  ( ( L `
 i ) ( +g  `  Y ) ( L `  j
) ) )
7271fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( F `  (
a ( +g  `  Y
) b ) )  =  ( F `  ( ( L `  i ) ( +g  `  Y ) ( L `
 j ) ) ) )
73 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  ( L `  i )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( L `  i ) ) )
74 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( L `  j )  ->  ( F `  b )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )
7573, 74oveqan12d 5893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( F `  a ) ( +g  `  G ) ( F `
 b ) )  =  ( ( F `
 ( L `  i ) ) ( +g  `  G ) ( F `  ( L `  j )
) ) )
7672, 75eqeq12d 2310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) )  <->  ( F `  ( ( L `  i ) ( +g  `  Y ) ( L `
 j ) ) )  =  ( ( F `  ( L `
 i ) ) ( +g  `  G
) ( F `  ( L `  j ) ) ) ) )
7770, 76syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) ) )
7877rexlimdvva 2687 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ZZ  E. j  e.  ZZ  ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) ) )
7934, 78syl5bir 209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) ) )
8079imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )  ->  ( F `  ( a ( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G
) ( F `  b ) ) )
8133, 80syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  Y ) b ) )  =  ( ( F `  a ) ( +g  `  G ) ( F `
 b ) ) )
821, 2, 3, 4, 17, 20, 26, 81isghmd 14708 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y 
GrpHom  G ) )
8366, 68eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `
 ( L `  j ) )  <->  ( i  .x.  X )  =  ( j  .x.  X ) ) )
842, 5, 12, 21, 22, 23, 18, 24cygznlem1 16536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( L `  i )  =  ( L `  j )  <-> 
( i  .x.  X
)  =  ( j 
.x.  X ) ) )
8583, 84bitr4d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `
 ( L `  j ) )  <->  ( L `  i )  =  ( L `  j ) ) )
8685biimpd 198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `
 ( L `  j ) )  -> 
( L `  i
)  =  ( L `
 j ) ) )
8773, 74eqeqan12d 2311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  ( L `  i )
)  =  ( F `
 ( L `  j ) ) ) )
88 eqeq12 2308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( a  =  b  <-> 
( L `  i
)  =  ( L `
 j ) ) )
8987, 88imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  =  ( L `
 i )  /\  b  =  ( L `  j ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  b
)  ->  a  =  b )  <->  ( ( F `  ( L `  i ) )  =  ( F `  ( L `  j )
)  ->  ( L `  i )  =  ( L `  j ) ) ) )
9086, 89syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )  -> 
( ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
9190rexlimdvva 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. i  e.  ZZ  E. j  e.  ZZ  ( a  =  ( L `  i
)  /\  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
9234, 91syl5bir 209 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
9392imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( E. i  e.  ZZ  a  =  ( L `  i )  /\  E. j  e.  ZZ  b  =  ( L `  j ) ) )  ->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  b
)  ->  a  =  b ) )
9433, 93syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( Base `  Y
)  /\  b  e.  ( Base `  Y )
) )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
9594ralrimivva 2648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
Base `  Y ) A. b  e.  ( Base `  Y ) ( ( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) )
96 dff13 5799 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  Y
) -1-1-> B  <->  ( F :
( Base `  Y ) --> B  /\  A. a  e.  ( Base `  Y
) A. b  e.  ( Base `  Y
) ( ( F `
 a )  =  ( F `  b
)  ->  a  =  b ) ) )
9726, 95, 96sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) -1-1-> B )
982, 21, 23iscyggen2 15184 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
9920, 98syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  E  <->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) ) ) )
10024, 99mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) ) )
101100simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X ) )
102 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
n  .x.  X )  =  ( j  .x.  X ) )
103102eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  j  ->  (
z  =  ( n 
.x.  X )  <->  z  =  ( j  .x.  X
) ) )
104103cbvrexv 2778 . . . . . . . 8  |-  ( E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X )  <->  E. j  e.  ZZ  z  =  ( j  .x.  X ) )
10528adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Y
) )
106 fof 5467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
107105, 106syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Y
) )
108 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Y )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( L `  j )  e.  ( Base `  Y
) )
109107, 108sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( L `  j )  e.  ( Base `  Y
) )
11067adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  ( F `  ( L `  j ) )  =  ( j  .x.  X
) )
111110eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
j  .x.  X )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )
112 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  ( L `  j )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )
113112eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  ( L `  j )  ->  (
( j  .x.  X
)  =  ( F `
 a )  <->  ( j  .x.  X )  =  ( F `  ( L `
 j ) ) ) )
114113rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( L `  j
)  e.  ( Base `  Y )  /\  (
j  .x.  X )  =  ( F `  ( L `  j ) ) )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) )
115109, 111, 114syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) )
116 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( j  .x.  X )  ->  (
z  =  ( F `
 a )  <->  ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) ) )
117116rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( j  .x.  X )  ->  ( E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a )  <->  E. a  e.  ( Base `  Y
) ( j  .x.  X )  =  ( F `  a ) ) )
118115, 117syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  z  e.  B )  /\  j  e.  ZZ )  ->  (
z  =  ( j 
.x.  X )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a ) ) )
119118rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( E. j  e.  ZZ  z  =  ( j  .x.  X )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) z  =  ( F `  a ) ) )
120104, 119syl5bi 208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  B )  ->  ( E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X )  ->  E. a  e.  ( Base `  Y
) z  =  ( F `  a ) ) )
121120ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  E. n  e.  ZZ  z  =  ( n  .x.  X )  ->  A. z  e.  B  E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a ) ) )
122101, 121mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. z  e.  B  E. a  e.  ( Base `  Y ) z  =  ( F `  a ) )
123 dffo3 5691 . . . . 5  |-  ( F : ( Base `  Y
) -onto-> B  <->  ( F :
( Base `  Y ) --> B  /\  A. z  e.  B  E. a  e.  ( Base `  Y
) z  =  ( F `  a ) ) )
12426, 122, 123sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) -onto-> B )
125 df-f1o 5278 . . . 4  |-  ( F : ( Base `  Y
)
-1-1-onto-> B 
<->  ( F : (
Base `  Y ) -1-1->
B  /\  F :
( Base `  Y ) -onto-> B ) )
12697, 124, 125sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  F : ( Base `  Y ) -1-1-onto-> B )
1271, 2isgim 14742 . . 3  |-  ( F  e.  ( Y GrpIso  G
)  <->  ( F  e.  ( Y  GrpHom  G )  /\  F : (
Base `  Y ) -1-1-onto-> B
) )
12882, 126, 127sylanbrc 645 . 2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( Y GrpIso  G ) )
129 brgici 14750 . 2  |-  ( F  e.  ( Y GrpIso  G
)  ->  Y  ~=ph𝑔  G )
130 gicsym 14754 . 2  |-  ( Y 
~=ph𝑔  G  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
131128, 129, 1303syl 18 1  |-  ( ph  ->  G  ~=ph𝑔 
Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801   ifcif 3578   <.cop 3656   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   0cc0 8753    + caddc 8756   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   #chash 11353   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382    GrpHom cghm 14696   GrpIso cgim 14737    ~=ph𝑔 cgic 14738  CycGrpccyg 15180   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   RingHom crh 15510  SubRingcsubrg 15557  ℂfldccnfld 16393   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470
This theorem is referenced by:  cygzn  16540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-gic 14740  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-cyg 15181  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474
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