Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem36 Unicode version

Theorem dalem36 29897
Description: Lemma for dath 29925. Analog of dalem27 29888 for  I. (Contributed by NM, 8-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalem.ps  |-  ( ps  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  Y  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  Y  /\  C  .<_  ( c  .\/  d
) ) ) )
dalem34.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dalem34.o  |-  O  =  ( LPlanes `  K )
dalem34.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalem34.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
dalem34.i  |-  I  =  ( ( c  .\/  R )  ./\  ( d  .\/  U ) )
Assertion
Ref Expression
dalem36  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
c  .<_  ( I  .\/  R ) )

Proof of Theorem dalem36
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
2 dalem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dalem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 dalem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 dalem34.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
6 dalem34.z . . . 4  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 29846 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
873ad2ant1 976 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6dalemrotyz 29847 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S ) )
1093adant3 975 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S ) )
11 dalem.ps . . . 4  |-  ( ps  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  Y  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  Y  /\  C  .<_  ( c  .\/  d
) ) ) )
121, 2, 3, 4, 11, 5dalemrotps 29880 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
13123adant2 974 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
14 biid 227 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )  <->  ( (
( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A ) )  /\  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) ) )
15 biid 227 . . 3  |-  ( ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c 
.\/  d ) ) )  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
16 dalem34.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
17 dalem34.o . . 3  |-  O  =  ( LPlanes `  K )
18 eqid 2283 . . 3  |-  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )
19 eqid 2283 . . 3  |-  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  S )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )
20 dalem34.i . . 3  |-  I  =  ( ( c  .\/  R )  ./\  ( d  .\/  U ) )
2114, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem32 29893 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )  /\  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S )  /\  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )  ->  c  .<_  ( I  .\/  R ) )
228, 10, 13, 21syl3anc 1182 1  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
c  .<_  ( I  .\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LPlanesclpl 29681
This theorem is referenced by:  dalem51  29912  dalem52  29913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688
  Copyright terms: Public domain W3C validator