Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem37 Unicode version

Theorem dalem37 29957
Description: Lemma for dath 29984. Analog of dalem28 29948 for  I. (Contributed by NM, 4-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalem.ps  |-  ( ps  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  Y  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  Y  /\  C  .<_  ( c  .\/  d
) ) ) )
dalem34.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
dalem34.o  |-  O  =  ( LPlanes `  K )
dalem34.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalem34.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
dalem34.i  |-  I  =  ( ( c  .\/  R )  ./\  ( d  .\/  U ) )
Assertion
Ref Expression
dalem37  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  ->  R  .<_  ( I  .\/  c ) )

Proof of Theorem dalem37
StepHypRef Expression
1 dalem.ph . . . 4  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
2 dalem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 dalem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
4 dalem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 dalem34.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
6 dalem34.z . . . 4  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6dalemrot 29905 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
873ad2ant1 977 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6dalemrotyz 29906 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z )  ->  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S ) )
1093adant3 976 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S ) )
11 dalem.ps . . . 4  |-  ( ps  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  Y  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  Y  /\  C  .<_  ( c  .\/  d
) ) ) )
121, 2, 3, 4, 11, 5dalemrotps 29939 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
13123adant2 975 . 2  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  -> 
( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
14 biid 227 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )  <->  ( (
( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
)  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A ) )  /\  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) ) )
15 biid 227 . . 3  |-  ( ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A
)  /\  -.  c  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c 
.\/  d ) ) )  <->  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )
16 dalem34.m . . 3  |-  ./\  =  ( meet `  K )
17 dalem34.o . . 3  |-  O  =  ( LPlanes `  K )
18 eqid 2366 . . 3  |-  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  =  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )
19 eqid 2366 . . 3  |-  ( ( T  .\/  U ) 
.\/  S )  =  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )
20 dalem34.i . . 3  |-  I  =  ( ( c  .\/  R )  ./\  ( d  .\/  U ) )
2114, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20dalem33 29953 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) )  /\  (
( Q  .\/  R
)  .\/  P )  =  ( ( T 
.\/  U )  .\/  S )  /\  ( ( c  e.  A  /\  d  e.  A )  /\  -.  c  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  /\  ( d  =/=  c  /\  -.  d  .<_  ( ( Q  .\/  R ) 
.\/  P )  /\  C  .<_  ( c  .\/  d ) ) ) )  ->  R  .<_  ( I  .\/  c ) )
228, 10, 13, 21syl3anc 1183 1  |-  ( (
ph  /\  Y  =  Z  /\  ps )  ->  R  .<_  ( I  .\/  c ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   Basecbs 13356   lecple 13423   joincjn 14288   meetcmee 14289   Atomscatm 29512   HLchlt 29599   LPlanesclpl 29740
This theorem is referenced by:  dalem38  29958  dalem44  29964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-plt 14302  df-lub 14318  df-glb 14319  df-join 14320  df-meet 14321  df-p0 14355  df-lat 14362  df-clat 14424  df-oposet 29425  df-ol 29427  df-oml 29428  df-covers 29515  df-ats 29516  df-atl 29547  df-cvlat 29571  df-hlat 29600  df-llines 29746  df-lplanes 29747
  Copyright terms: Public domain W3C validator