Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalemrot Unicode version

Theorem dalemrot 30468
Description: Lemma for dath 30547. Rotate triangles  Y  =  P Q R and  Z  =  S T U to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalema.ph  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
dalemc.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
dalemc.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
dalemc.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
dalemrot.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
dalemrot.z  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
Assertion
Ref Expression
dalemrot  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )

Proof of Theorem dalemrot
StepHypRef Expression
1 dalema.ph . . . . 5  |-  ( ph  <->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) ) )
21dalemkehl 30434 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  HL )
3 dalemc.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
41, 3dalemceb 30449 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ( Base `  K ) )
52, 4jca 518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K ) ) )
61dalemqea 30438 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  A )
71dalemrea 30439 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  A )
81dalempea 30437 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  A )
96, 7, 83jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A
) )
101dalemtea 30441 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  A )
111dalemuea 30442 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  A )
121dalemsea 30440 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  A )
1310, 11, 123jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )
145, 9, 133jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) ) )
15 dalemc.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
161, 15, 3dalemqrprot 30459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
17 dalemrot.y . . . . 5  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )
181dalemyeo 30443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  O )
1917, 18syl5eqelr 2381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  O )
2016, 19eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O )
2115, 3hlatjrot 30184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
222, 10, 11, 12, 21syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  =  ( ( S 
.\/  T )  .\/  U ) )
23 dalemrot.z . . . . 5  |-  Z  =  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )
241dalemzeo 30444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  O )
2523, 24syl5eqelr 2381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S  .\/  T )  .\/  U )  e.  O )
2622, 25eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O )
2720, 26jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q 
.\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  ( ( T  .\/  U )  .\/  S )  e.  O ) )
28 simp312 1103 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R ) )
291, 28sylbi 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
30 simp313 1104 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( R  .\/  P ) )
311, 30sylbi 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( R 
.\/  P ) )
321dalem-clpjq 30448 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3329, 31, 323jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
34 simp322 1106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( T  .\/  U ) )
351, 34sylbi 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U ) )
36 simp323 1107 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( U  .\/  S ) )
371, 36sylbi 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )
38 simp321 1105 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( S  e.  A  /\  T  e.  A  /\  U  e.  A
) )  /\  ( Y  e.  O  /\  Z  e.  O )  /\  ( ( -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( S 
.\/  T )  /\  -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S ) )  /\  ( C  .<_  ( P  .\/  S )  /\  C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U ) ) ) )  ->  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) )
391, 38sylbi 187 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )
4035, 37, 393jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T ) ) )
411dalemclqjt 30446 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( Q  .\/  T ) )
421dalemclrju 30447 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( R  .\/  U ) )
431dalemclpjs 30445 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  .<_  ( P  .\/  S ) )
4441, 42, 433jca 1132 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .<_  ( Q 
.\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) )
4533, 40, 443jca 1132 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R
)  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P
)  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q
) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T 
.\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U 
.\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S 
.\/  T ) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R 
.\/  U )  /\  C  .<_  ( P  .\/  S ) ) ) )
4614, 27, 453jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  C  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( Q  e.  A  /\  R  e.  A  /\  P  e.  A )  /\  ( T  e.  A  /\  U  e.  A  /\  S  e.  A
) )  /\  (
( ( Q  .\/  R )  .\/  P )  e.  O  /\  (
( T  .\/  U
)  .\/  S )  e.  O )  /\  (
( -.  C  .<_  ( Q  .\/  R )  /\  -.  C  .<_  ( R  .\/  P )  /\  -.  C  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  ( -.  C  .<_  ( T  .\/  U )  /\  -.  C  .<_  ( U  .\/  S )  /\  -.  C  .<_  ( S  .\/  T
) )  /\  ( C  .<_  ( Q  .\/  T )  /\  C  .<_  ( R  .\/  U )  /\  C  .<_  ( P 
.\/  S ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  dalemeea  30474  dalem6  30479  dalem7  30480  dalem11  30485  dalem12  30486  dalem29  30512  dalem30  30513  dalem31N  30514  dalem32  30515  dalem33  30516  dalem34  30517  dalem35  30518  dalem36  30519  dalem37  30520  dalem40  30523  dalem46  30529  dalem47  30530  dalem49  30532  dalem50  30533  dalem58  30541  dalem59  30542
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
  Copyright terms: Public domain W3C validator