MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Unicode version

Theorem dchr1cl 20992
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchr1cl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1cl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
2 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchrn0.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 dchr1cl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 eqidd 2409 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  1  =  1 )
9 eqidd 2409 . . 3  |-  ( k  =  y  ->  1  =  1 )
10 eqidd 2409 . . 3  |-  ( k  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  1  =  1 )
11 eqidd 2409 . . 3  |-  ( k  =  ( 1r `  Z )  ->  1  =  1 )
12 ax-1cn 9008 . . . 4  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
14 1t1e1 10086 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1514eqcomi 2412 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  =  ( 1  x.  1 ) )
17 eqidd 2409 . . 3  |-  ( ph  ->  1  =  1 )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17dchrelbasd 20980 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
191, 18syl5eqel 2492 1  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3703    e. cmpt 4230   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   CCcc 8948   0cc0 8950   1c1 8951    x. cmul 8955   NNcn 9960   Basecbs 13428   .rcmulr 13489   1rcur 15621  Unitcui 15703  ℤ/nczn 16740  DChrcdchr 20973
This theorem is referenced by:  dchrmulid2  20993  dchrabl  20995  dchr1  20998
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-ec 6870  df-qs 6874  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-0g 13686  df-imas 13693  df-divs 13694  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-nsg 14901  df-eqg 14902  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-cring 15623  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-subrg 15825  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-sra 16203  df-rgmod 16204  df-lidl 16205  df-rsp 16206  df-2idl 16262  df-cnfld 16663  df-zn 16744  df-dchr 20974
  Copyright terms: Public domain W3C validator