MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Structured version   Unicode version

Theorem dchr1cl 21040
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchr1cl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1cl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
2 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchrn0.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 dchr1cl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 eqidd 2439 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  1  =  1 )
9 eqidd 2439 . . 3  |-  ( k  =  y  ->  1  =  1 )
10 eqidd 2439 . . 3  |-  ( k  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  1  =  1 )
11 eqidd 2439 . . 3  |-  ( k  =  ( 1r `  Z )  ->  1  =  1 )
12 ax-1cn 9053 . . . 4  |-  1  e.  CC
1312a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
14 1t1e1 10131 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1514eqcomi 2442 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
1615a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  =  ( 1  x.  1 ) )
17 eqidd 2439 . . 3  |-  ( ph  ->  1  =  1 )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17dchrelbasd 21028 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
191, 18syl5eqel 2522 1  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3741    e. cmpt 4269   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   CCcc 8993   0cc0 8995   1c1 8996    x. cmul 9000   NNcn 10005   Basecbs 13474   .rcmulr 13535   1rcur 15667  Unitcui 15749  ℤ/nczn 16786  DChrcdchr 21021
This theorem is referenced by:  dchrmulid2  21041  dchrabl  21043  dchr1  21046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-cnfld 16709  df-zn 16790  df-dchr 21022
  Copyright terms: Public domain W3C validator