MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1cl Unicode version

Theorem dchr1cl 20602
Description: Closure of the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchr1cl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1cl  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchr1cl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1cl.o . 2  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
2 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 dchrn0.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchrn0.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
6 dchr1cl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
8 eqidd 2359 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  1  =  1 )
9 eqidd 2359 . . 3  |-  ( k  =  y  ->  1  =  1 )
10 eqidd 2359 . . 3  |-  ( k  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  1  =  1 )
11 eqidd 2359 . . 3  |-  ( k  =  ( 1r `  Z )  ->  1  =  1 )
12 ax-1cn 8885 . . . 4  |-  1  e.  CC
1312a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  1  e.  CC )
14 1t1e1 9962 . . . . 5  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
1514eqcomi 2362 . . . 4  |-  1  =  ( 1  x.  1 )
1615a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
1  =  ( 1  x.  1 ) )
17 eqidd 2359 . . 3  |-  ( ph  ->  1  =  1 )
182, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 17dchrelbasd 20590 . 2  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )  e.  D )
191, 18syl5eqel 2442 1  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   ifcif 3641    e. cmpt 4158   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   CCcc 8825   0cc0 8827   1c1 8828    x. cmul 8832   NNcn 9836   Basecbs 13245   .rcmulr 13306   1rcur 15438  Unitcui 15520  ℤ/nczn 16560  DChrcdchr 20583
This theorem is referenced by:  dchrmulid2  20603  dchrabl  20605  dchr1  20608
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-tpos 6321  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-ec 6749  df-qs 6753  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-imas 13510  df-divs 13511  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-sbg 14590  df-subg 14717  df-nsg 14718  df-eqg 14719  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-oppr 15504  df-dvdsr 15522  df-unit 15523  df-subrg 15642  df-lmod 15728  df-lss 15789  df-lsp 15828  df-sra 16024  df-rgmod 16025  df-lidl 16026  df-rsp 16027  df-2idl 16083  df-cnfld 16483  df-zn 16564  df-dchr 20584
  Copyright terms: Public domain W3C validator