MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Unicode version

Theorem dchr1re 20502
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr1re.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr1re.o  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchr1re.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr1re.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1re  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr1re.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 dchr1re.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchr1re.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
61dchrabl 20493 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
8 ablgrp 15094 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
9 dchr1re.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
103, 9grpidcl 14510 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
117, 8, 103syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  ( Base `  G ) )
121, 2, 3, 4, 11dchrf 20481 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> CC )
13 ffn 5389 . . 3  |-  (  .1. 
: B --> CC  ->  .1. 
Fn  B )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  Fn  B )
15 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  0 )
16 0re 8838 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1715, 16syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
18 eqid 2283 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
195ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  N  e.  NN )
2011adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
21 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
221, 2, 3, 4, 18, 20, 21dchrn0 20489 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  x
)  =/=  0  <->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
2322biimpa 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  x  e.  (Unit `  Z )
)
241, 2, 9, 18, 19, 23dchr1 20496 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  1 )
25 1re 8837 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2624, 25syl6eqel 2371 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2717, 26pm2.61dane 2524 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2827ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR )
29 ffnfv 5685 . 2  |-  (  .1. 
: B --> RR  <->  (  .1.  Fn  B  /\  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR ) )
3014, 28, 29sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738   NNcn 9746   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   Abelcabel 15090  Unitcui 15421  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  20636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zn 16458  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator