MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr1re Structured version   Unicode version

Theorem dchr1re 21049
Description: The principal Dirichlet character is a real character. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr1re.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr1re.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr1re.o  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchr1re.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr1re.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchr1re  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )

Proof of Theorem dchr1re
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchr1re.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr1re.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
4 dchr1re.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5 dchr1re.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
61dchrabl 21040 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
7 ablgrp 15419 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
8 dchr1re.o . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
93, 8grpidcl 14835 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
105, 6, 7, 94syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  ( Base `  G ) )
111, 2, 3, 4, 10dchrf 21028 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> CC )
12 ffn 5593 . . 3  |-  (  .1. 
: B --> CC  ->  .1. 
Fn  B )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  .1.  Fn  B )
14 simpr 449 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  0 )
15 0re 9093 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1614, 15syl6eqel 2526 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
17 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
185ad2antrr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  N  e.  NN )
1910adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  .1.  e.  ( Base `  G
) )
20 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
211, 2, 3, 4, 17, 19, 20dchrn0 21036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
(  .1.  `  x
)  =/=  0  <->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
2221biimpa 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  x  e.  (Unit `  Z )
)
231, 2, 8, 17, 18, 22dchr1 21043 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  =  1 )
24 1re 9092 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2523, 24syl6eqel 2526 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  B )  /\  (  .1.  `  x )  =/=  0 )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2616, 25pm2.61dane 2684 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (  .1.  `  x )  e.  RR )
2726ralrimiva 2791 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR )
28 ffnfv 5896 . 2  |-  (  .1. 
: B --> RR  <->  (  .1.  Fn  B  /\  A. x  e.  B  (  .1.  `  x )  e.  RR ) )
2913, 27, 28sylanbrc 647 1  |-  ( ph  ->  .1.  : B --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993   NNcn 10002   Basecbs 13471   0gc0g 13725   Grpcgrp 14687   Abelcabel 15415  Unitcui 15746  ℤ/nczn 16783  DChrcdchr 21018
This theorem is referenced by:  rpvmasumlem  21183
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-cnfld 16706  df-zn 16787  df-dchr 21019
  Copyright terms: Public domain W3C validator