MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Structured version   Unicode version

Theorem dchr2sum 21057
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  X ( a )  x.  * Y ( a ) over all  a is nonzero only when  X  =  Y. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr2sum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr2sum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchr2sum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr2sum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchr2sum.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchr2sum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, a    G, a    ph, a    X, a    Y, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    N( a)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr2sum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchr2sum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2436 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 dchr2sum.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 3dchrrcl 21024 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81dchrabl 21038 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 15417 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 dchr2sum.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
133, 12grpsubcl 14869 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
1410, 5, 11, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
15 dchr2sum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 21053 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  if ( ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
175adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
1811adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y  e.  D )
19 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
20 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
213, 19, 20, 12grpsubval 14848 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) )
2217, 18, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )
237adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  N  e.  NN )
2423, 8, 93syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
253, 20grpinvcl 14850 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
2624, 18, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 21032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2822, 27eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2928fveq1d 5730 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a ) )
301, 2, 3, 15, 17dchrf 21026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X : B --> CC )
31 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( X : B --> CC  ->  X  Fn  B )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  Fn  B )
331, 2, 3, 15, 26dchrf 21026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC )
34 ffn 5591 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
36 fvex 5742 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
3715, 36eqeltri 2506 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  _V )
39 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
40 fnfvof 6317 . . . . 5  |-  ( ( ( X  Fn  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  a  e.  B ) )  -> 
( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
4132, 35, 38, 39, 40syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
421, 3, 18, 20dchrinv 21045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  =  ( *  o.  Y ) )
4342fveq1d 5730 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( ( *  o.  Y ) `  a ) )
441, 2, 3, 15, 18dchrf 21026 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y : B --> CC )
45 fvco3 5800 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( ( *  o.  Y ) `  a
)  =  ( * `
 ( Y `  a ) ) )
4644, 39, 45syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( *  o.  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4743, 46eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4847oveq2d 6097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  x.  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
)  =  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a ) ) ) )
4929, 41, 483eqtrd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) ) )
5049sumeq2dv 12497 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a )
) ) )
513, 4, 12grpsubeq0 14875 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5210, 5, 11, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5352ifbid 3757 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( 0g `  G
) ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( X  =  Y , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
5416, 50, 533eqtr3d 2476 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   ifcif 3739    o. ccom 4882    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   0cc0 8990    x. cmul 8995   NNcn 10000   *ccj 11901   sum_csu 12479   phicphi 13153   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685   inv gcminusg 14686   -gcsg 14688   Abelcabel 15413  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-phi 13155  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-od 15167  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-dchr 21017
  Copyright terms: Public domain W3C validator