MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchr2sum Unicode version

Theorem dchr2sum 21014
Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of  X ( a )  x.  * Y ( a ) over all  a is nonzero only when  X  =  Y. Part of Theorem 6.5.2 of [Shapiro] p. 232. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchr2sum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchr2sum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchr2sum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchr2sum.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchr2sum.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchr2sum.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchr2sum  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, a    G, a    ph, a    X, a    Y, a    Z, a
Allowed substitution hints:    D( a)    N( a)

Proof of Theorem dchr2sum
StepHypRef Expression
1 dchr2sum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchr2sum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchr2sum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2408 . . 3  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
5 dchr2sum.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 3dchrrcl 20981 . . . . . 6  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
81dchrabl 20995 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9 ablgrp 15376 . . . . 5  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
107, 8, 93syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
11 dchr2sum.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
12 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
133, 12grpsubcl 14828 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
1410, 5, 11, 13syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  e.  D )
15 dchr2sum.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
161, 2, 3, 4, 14, 15dchrsum 21010 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  if ( ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G ) ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
175adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  e.  D )
1811adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y  e.  D )
19 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
20 eqid 2408 . . . . . . . 8  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
213, 19, 20, 12grpsubval 14807 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( X ( -g `  G ) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G ) `  Y
) ) )
2217, 18, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X ( +g  `  G ) ( ( inv g `  G
) `  Y )
) )
237adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  N  e.  NN )
2423, 8, 93syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
253, 20grpinvcl 14809 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
2624, 18, 25syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  e.  D )
271, 2, 3, 19, 17, 26dchrmul 20989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( +g  `  G
) ( ( inv g `  G ) `
 Y ) )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2822, 27eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) )
2928fveq1d 5693 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a ) )
301, 2, 3, 15, 17dchrf 20983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X : B --> CC )
31 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( X : B --> CC  ->  X  Fn  B )
3230, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  X  Fn  B )
331, 2, 3, 15, 26dchrf 20983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC )
34 ffn 5554 . . . . . 6  |-  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) : B --> CC  ->  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
3533, 34syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )
36 fvex 5705 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
3715, 36eqeltri 2478 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
3837a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  _V )
39 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
40 fnfvof 6280 . . . . 5  |-  ( ( ( X  Fn  B  /\  ( ( inv g `  G ) `  Y
)  Fn  B )  /\  ( B  e. 
_V  /\  a  e.  B ) )  -> 
( ( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
4132, 35, 38, 39, 40syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X  o F  x.  ( ( inv g `  G ) `
 Y ) ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
) )
421, 3, 18, 20dchrinv 21002 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( inv g `  G ) `  Y
)  =  ( *  o.  Y ) )
4342fveq1d 5693 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( ( *  o.  Y ) `  a ) )
441, 2, 3, 15, 18dchrf 20983 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  Y : B --> CC )
45 fvco3 5763 . . . . . . 7  |-  ( ( Y : B --> CC  /\  a  e.  B )  ->  ( ( *  o.  Y ) `  a
)  =  ( * `
 ( Y `  a ) ) )
4644, 39, 45syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( *  o.  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4743, 46eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )  =  ( * `  ( Y `  a ) ) )
4847oveq2d 6060 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X `  a
)  x.  ( ( ( inv g `  G ) `  Y
) `  a )
)  =  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a ) ) ) )
4929, 41, 483eqtrd 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( X ( -g `  G ) Y ) `
 a )  =  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) ) )
5049sumeq2dv 12456 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X (
-g `  G ) Y ) `  a
)  =  sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  ( * `  ( Y `  a )
) ) )
513, 4, 12grpsubeq0 14834 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D  /\  Y  e.  D )  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5210, 5, 11, 51syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  G ) Y )  =  ( 0g `  G )  <-> 
X  =  Y ) )
5352ifbid 3721 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( X ( -g `  G
) Y )  =  ( 0g `  G
) ,  ( phi `  N ) ,  0 )  =  if ( X  =  Y , 
( phi `  N
) ,  0 ) )
5416, 50, 533eqtr3d 2448 1  |-  ( ph  -> 
sum_ a  e.  B  ( ( X `  a )  x.  (
* `  ( Y `  a ) ) )  =  if ( X  =  Y ,  ( phi `  N ) ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2920   ifcif 3703    o. ccom 4845    Fn wfn 5412   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044    o Fcof 6266   CCcc 8948   0cc0 8950    x. cmul 8955   NNcn 9960   *ccj 11860   sum_csu 12438   phicphi 13112   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   0gc0g 13682   Grpcgrp 14644   inv gcminusg 14645   -gcsg 14647   Abelcabel 15372  ℤ/nczn 16740  DChrcdchr 20973
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ec 6870  df-qs 6874  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-phi 13114  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-divs 13694  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-mulg 14774  df-subg 14900  df-nsg 14901  df-eqg 14902  df-ghm 14963  df-cntz 15075  df-od 15126  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-cring 15623  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-rnghom 15778  df-drng 15796  df-subrg 15825  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-sra 16203  df-rgmod 16204  df-lidl 16205  df-rsp 16206  df-2idl 16262  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-zrh 16741  df-zn 16744  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-cxp 20412  df-dchr 20974
  Copyright terms: Public domain W3C validator