MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Structured version   Unicode version

Theorem dchrabs 21044
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrabs.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrabs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrabs.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrabs.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchrabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrabs.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrabs.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrabs.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 21026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 dchrabs.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  Z )
84, 7unitss 15765 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( Base `  Z )
9 dchrabs.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3346 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
116, 10ffvelrnd 5871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  CC )
121, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 21034 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )
139, 12mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  0 )
1411, 13absrpcld 12250 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR+ )
151, 3dchrrcl 21024 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
162, 4znfi 16840 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Z )  e. 
Fin )
175, 15, 163syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  Fin )
18 ssfi 7329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  Z
)  e.  Fin  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  U  e.  Fin )
1917, 8, 18sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
20 hashcl 11639 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Fin  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
2221nn0red 10275 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  RR )
2322recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  CC )
24 ne0i 3634 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
259, 24syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
26 hashnncl 11645 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2719, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2825, 27mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN )
2928nnne0d 10044 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  =/=  0 )
3023, 29reccld 9783 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
3114, 22, 30cxpmuld 20625 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( X `
 A ) )  ^ c  ( # `  U ) )  ^ c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
3223, 29recidd 9785 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) )  =  1 )
3332oveq2d 6097 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^ c 
1 ) )
3411abscld 12238 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR )
3534recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC )
36 cxpexp 20559 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3735, 21, 36syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3811, 21absexpd 12254 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) ) ^ ( # `
 U ) ) )
39 cnrng 16723 . . . . . . . . . . 11  |-fld  e.  Ring
40 cnfldbas 16707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  ( Base ` fld )
41 cnfld0 16725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  =  ( 0g ` fld )
42 cndrng 16730 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  DivRing
4340, 41, 42drngui 15841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
44 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4543, 44unitsubm 15775 . . . . . . . . . . 11  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4639, 45mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
47 eldifsn 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X `  A )  e.  CC  /\  ( X `  A
)  =/=  0 ) )
4811, 13, 47sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
49 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
50 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
51 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5249, 50, 51submmulg 14925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
5346, 21, 48, 52syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
54 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
551, 2, 3, 7, 54, 50, 5dchrghm 21040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
5621nn0zd 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  ZZ )
577, 54unitgrpbas 15771 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
58 eqid 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )  =  (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) )
5957, 58, 51ghmmulg 15018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( # `  U
)  e.  ZZ  /\  A  e.  U )  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
6055, 56, 9, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
615, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6261nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
632zncrng 16825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
64 crngrng 15674 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6562, 63, 643syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
667, 54unitgrp 15772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  Grp )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp )
68 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( od `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
6957, 68oddvds2 15202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  A  e.  U )  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
7067, 19, 9, 69syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
71 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7257, 68, 58, 71oddvds 15185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  A  e.  U  /\  ( # `  U )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7367, 9, 56, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7470, 73mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
75 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
767, 54, 75unitgrpid 15774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) ) )
7765, 76syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
7874, 77eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 1r
`  Z ) )
7978fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) ) )
80 fvres 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
819, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  A
)  =  ( X `
 A ) )
8281oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
8360, 79, 823eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
847, 751unit 15763 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
85 fvres 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Z )  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8665, 84, 853syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8753, 83, 863eqtr2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
88 cnfldexp 16734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
8911, 21, 88syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
901, 2, 3dchrmhm 21025 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
9190, 5sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
92 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
9392, 75rngidval 15666 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
94 cnfld1 16726 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9544, 94rngidval 15666 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9693, 95mhm0 14746 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9791, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9887, 89, 973eqtr3d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A ) ^ ( # `
 U ) )  =  1 )
9998fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( abs `  1
) )
100 abs1 12102 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
10199, 100syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  1 )
10237, 38, 1013eqtr2d 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  1 )
103102oveq1d 6096 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^ c 
( # `  U ) )  ^ c  ( 1  /  ( # `  U ) ) )  =  ( 1  ^ c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
10431, 33, 1033eqtr3d 2476 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  1 )  =  ( 1  ^ c  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )
10535cxp1d 20597 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  1 )  =  ( abs `  ( X `  A
) ) )
106301cxpd 20598 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c 
( 1  /  ( # `
 U ) ) )  =  1 )
107104, 105, 1063eqtr3d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   class class class wbr 4212    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ^cexp 11382   #chash 11618   abscabs 12039    || cdivides 12852   Basecbs 13469   ↾s cress 13470   0gc0g 13723   Grpcgrp 14685  .gcmg 14689   MndHom cmhm 14736  SubMndcsubmnd 14737    GrpHom cghm 15003   odcod 15163  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662  Unitcui 15744  ℂfldccnfld 16703  ℤ/nczn 16781    ^ c ccxp 20453  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrinv  21045  dchrabs2  21046  sum2dchr  21058  dchrisum0flblem1  21202
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-od 15167  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-dvr 15788  df-rnghom 15819  df-drng 15837  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-dchr 21017
  Copyright terms: Public domain W3C validator