MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Unicode version

Theorem dchrabs 20515
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrabs.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrabs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrabs.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrabs.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchrabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrabs.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrabs.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrabs.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 20497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 dchrabs.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  Z )
84, 7unitss 15458 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( Base `  Z )
9 dchrabs.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3191 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
11 ffvelrn 5679 . . . . . 6  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  A  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  A
)  e.  CC )
126, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  CC )
131, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 20505 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )
149, 13mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  0 )
1512, 14absrpcld 11946 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR+ )
161, 3dchrrcl 20495 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
172, 4znfi 16529 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Z )  e. 
Fin )
185, 16, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  Fin )
19 ssfi 7099 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  Z
)  e.  Fin  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  U  e.  Fin )
2018, 8, 19sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21 hashcl 11366 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Fin  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
2322nn0red 10035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  RR )
2423recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  CC )
25 ne0i 3474 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
269, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
27 hashnncl 11370 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2820, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2926, 28mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN )
3029nnne0d 9806 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  =/=  0 )
3124, 30reccld 9545 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
3215, 23, 31cxpmuld 20097 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( X `
 A ) )  ^ c  ( # `  U ) )  ^ c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
3324, 30recidd 9547 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) )  =  1 )
3433oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^ c 
1 ) )
3512abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR )
3635recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC )
37 cxpexp 20031 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3836, 22, 37syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3912, 22absexpd 11950 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) ) ^ ( # `
 U ) ) )
40 cnrng 16412 . . . . . . . . . . 11  |-fld  e.  Ring
41 cnfldbas 16399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  ( Base ` fld )
42 cnfld0 16414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  =  ( 0g ` fld )
43 cndrng 16419 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  DivRing
4441, 42, 43drngui 15534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4644, 45unitsubm 15468 . . . . . . . . . . 11  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4740, 46mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
48 eldifsn 3762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X `  A )  e.  CC  /\  ( X `  A
)  =/=  0 ) )
4912, 14, 48sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
50 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
51 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
52 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5350, 51, 52submmulg 14618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
5447, 22, 49, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
55 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
561, 2, 3, 7, 55, 51, 5dchrghm 20511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
5722nn0zd 10131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  ZZ )
587, 55unitgrpbas 15464 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
59 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )  =  (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) )
6058, 59, 52ghmmulg 14711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( # `  U
)  e.  ZZ  /\  A  e.  U )  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
6156, 57, 9, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
625, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6362nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
642zncrng 16514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
65 crngrng 15367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
677, 55unitgrp 15465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  Grp )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp )
69 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( od `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7058, 69oddvds2 14895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  A  e.  U )  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
7168, 20, 9, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
72 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7358, 69, 59, 72oddvds 14878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  A  e.  U  /\  ( # `  U )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7468, 9, 57, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7571, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
76 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
777, 55, 76unitgrpid 15467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) ) )
7866, 77syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
7975, 78eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 1r
`  Z ) )
8079fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) ) )
81 fvres 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
829, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  A
)  =  ( X `
 A ) )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
8461, 80, 833eqtr3d 2336 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
857, 761unit 15456 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
86 fvres 5558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Z )  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8766, 85, 863syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8854, 84, 873eqtr2d 2334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
89 cnfldexp 16423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
9012, 22, 89syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
911, 2, 3dchrmhm 20496 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
9291, 5sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
93 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
9493, 76rngidval 15359 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
95 cnfld1 16415 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9645, 95rngidval 15359 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9794, 96mhm0 14439 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9892, 97syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9988, 90, 983eqtr3d 2336 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A ) ^ ( # `
 U ) )  =  1 )
10099fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( abs `  1
) )
101 abs1 11798 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
102100, 101syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  1 )
10338, 39, 1023eqtr2d 2334 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  1 )
104103oveq1d 5889 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^ c 
( # `  U ) )  ^ c  ( 1  /  ( # `  U ) ) )  =  ( 1  ^ c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
10532, 34, 1043eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  1 )  =  ( 1  ^ c  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )
10636cxp1d 20069 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  1 )  =  ( abs `  ( X `  A
) ) )
107311cxpd 20070 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c 
( 1  /  ( # `
 U ) ) )  =  1 )
108105, 106, 1073eqtr3d 2336 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162    C_ wss 3165   (/)c0 3468   {csn 3653   class class class wbr 4039    |` cres 4707   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    / cdiv 9439   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   #chash 11353   abscabs 11735    || cdivides 12547   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   MndHom cmhm 14429  SubMndcsubmnd 14430    GrpHom cghm 14696   odcod 14856  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  Unitcui 15437  ℂfldccnfld 16393  ℤ/nczn 16470    ^ c ccxp 19929  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrinv  20516  dchrabs2  20517  sum2dchr  20529  dchrisum0flblem1  20673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator