MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrabs Unicode version

Theorem dchrabs 20499
Description: A Dirichlet character takes values on the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrabs.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrabs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrabs.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrabs.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrabs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
Assertion
Ref Expression
dchrabs  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrabs
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrabs.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrabs.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrabs.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 20481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 dchrabs.u . . . . . . . 8  |-  U  =  (Unit `  Z )
84, 7unitss 15442 . . . . . . 7  |-  U  C_  ( Base `  Z )
9 dchrabs.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
108, 9sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  ( Base `  Z ) )
11 ffvelrn 5663 . . . . . 6  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  A  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  A
)  e.  CC )
126, 10, 11syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  CC )
131, 2, 3, 4, 7, 5, 10dchrn0 20489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A )  =/=  0  <->  A  e.  U ) )
149, 13mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  0 )
1512, 14absrpcld 11930 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR+ )
161, 3dchrrcl 20479 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
172, 4znfi 16513 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Z )  e. 
Fin )
185, 16, 173syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  Fin )
19 ssfi 7083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Base `  Z
)  e.  Fin  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  U  e.  Fin )
2018, 8, 19sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
21 hashcl 11350 . . . . . 6  |-  ( U  e.  Fin  ->  ( # `
 U )  e. 
NN0 )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN0 )
2322nn0red 10019 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  RR )
2423recnd 8861 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  CC )
25 ne0i 3461 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  U  ->  U  =/=  (/) )
269, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =/=  (/) )
27 hashnncl 11354 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  Fin  ->  (
( # `  U )  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2820, 27syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  e.  NN  <->  U  =/=  (/) ) )
2926, 28mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  NN )
3029nnne0d 9790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  =/=  0 )
3124, 30reccld 9529 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  ( # `
 U ) )  e.  CC )
3215, 23, 31cxpmuld 20081 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( X `
 A ) )  ^ c  ( # `  U ) )  ^ c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
3324, 30recidd 9531 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) )  =  1 )
3433oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  ( ( # `  U
)  x.  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^ c 
1 ) )
3512abscld 11918 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  RR )
3635recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC )
37 cxpexp 20015 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( X `  A )
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3836, 22, 37syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  ( ( abs `  ( X `
 A ) ) ^ ( # `  U
) ) )
3912, 22absexpd 11934 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  A
) ) ^ ( # `
 U ) ) )
40 cnrng 16396 . . . . . . . . . . 11  |-fld  e.  Ring
41 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . . . . 13  |-  CC  =  ( Base ` fld )
42 cnfld0 16398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  =  ( 0g ` fld )
43 cndrng 16403 . . . . . . . . . . . . 13  |-fld  e.  DivRing
4441, 42, 43drngui 15518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4644, 45unitsubm 15452 . . . . . . . . . . 11  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
4740, 46mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) ) )
48 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X `  A )  e.  CC  /\  ( X `  A
)  =/=  0 ) )
4912, 14, 48sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )
50 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (mulGrp ` fld ) )  =  (.g `  (mulGrp ` fld ) )
51 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
52 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  =  (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )
5350, 51, 52submmulg 14602 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( CC  \  {
0 } )  e.  (SubMnd `  (mulGrp ` fld ) )  /\  ( # `
 U )  e. 
NN0  /\  ( X `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
5447, 22, 49, 53syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  =  ( (mulGrp `  Z )s  U
)
561, 2, 3, 7, 55, 51, 5dchrghm 20495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) )
5722nn0zd 10115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  U
)  e.  ZZ )
587, 55unitgrpbas 15448 . . . . . . . . . . . 12  |-  U  =  ( Base `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (.g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )  =  (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) )
6058, 59, 52ghmmulg 14695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  |`  U )  e.  ( ( (mulGrp `  Z )s  U )  GrpHom  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) )  /\  ( # `  U
)  e.  ZZ  /\  A  e.  U )  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
6156, 57, 9, 60syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) ) )
625, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6362nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
642zncrng 16498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
65 crngrng 15351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
677, 55unitgrp 15449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  Grp )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp )
69 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( od `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7058, 69oddvds2 14879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  A  e.  U )  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
7168, 20, 9, 70syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( od `  ( (mulGrp `  Z )s  U
) ) `  A
)  ||  ( # `  U
) )
72 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) )
7358, 69, 59, 72oddvds 14862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( (mulGrp `  Z
)s 
U )  e.  Grp  /\  A  e.  U  /\  ( # `  U )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7468, 9, 57, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( od
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) `  A )  ||  ( # `
 U )  <->  ( ( # `
 U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z
)s 
U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) ) )
7571, 74mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
76 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
777, 55, 76unitgrpid 15451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (
(mulGrp `  Z )s  U
) ) )
7866, 77syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) )
7975, 78eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A )  =  ( 1r
`  Z ) )
8079fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  (
( # `  U ) (.g `  ( (mulGrp `  Z )s  U ) ) A ) )  =  ( ( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) ) )
81 fvres 5542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
829, 81syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  A
)  =  ( X `
 A ) )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( ( X  |`  U ) `
 A ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
8461, 80, 833eqtr3d 2323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( # `  U ) (.g `  (
(mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) ) ) ( X `
 A ) ) )
857, 761unit 15440 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
86 fvres 5542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1r `  Z )  e.  U  ->  (
( X  |`  U ) `
 ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8766, 85, 863syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
8854, 84, 873eqtr2d 2321 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
89 cnfldexp 16407 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X `  A
)  e.  CC  /\  ( # `  U )  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
9012, 22, 89syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  U
) (.g `  (mulGrp ` fld ) ) ( X `
 A ) )  =  ( ( X `
 A ) ^
( # `  U ) ) )
911, 2, 3dchrmhm 20480 . . . . . . . . . 10  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
9291, 5sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
93 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
9493, 76rngidval 15343 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
95 cnfld1 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9645, 95rngidval 15343 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9794, 96mhm0 14423 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9892, 97syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9988, 90, 983eqtr3d 2323 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X `  A ) ^ ( # `
 U ) )  =  1 )
10099fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  ( abs `  1
) )
101 abs1 11782 . . . . . 6  |-  ( abs `  1 )  =  1
102100, 101syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( X `  A
) ^ ( # `  U ) ) )  =  1 )
10338, 39, 1023eqtr2d 2321 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  (
# `  U )
)  =  1 )
104103oveq1d 5873 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( X `  A
) )  ^ c 
( # `  U ) )  ^ c  ( 1  /  ( # `  U ) ) )  =  ( 1  ^ c  ( 1  / 
( # `  U ) ) ) )
10532, 34, 1043eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  1 )  =  ( 1  ^ c  ( 1  /  ( # `  U
) ) ) )
10636cxp1d 20053 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X `  A )
)  ^ c  1 )  =  ( abs `  ( X `  A
) ) )
107311cxpd 20054 . 2  |-  ( ph  ->  ( 1  ^ c 
( 1  /  ( # `
 U ) ) )  =  1 )
108105, 106, 1073eqtr3d 2323 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X `  A )
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    |` cres 4691   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   #chash 11337   abscabs 11719    || cdivides 12531   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   MndHom cmhm 14413  SubMndcsubmnd 14414    GrpHom cghm 14680   odcod 14840  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Unitcui 15421  ℂfldccnfld 16377  ℤ/nczn 16454    ^ c ccxp 19913  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrinv  20500  dchrabs2  20501  sum2dchr  20513  dchrisum0flblem1  20657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator