Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrelbas2 21013
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g DChr
dchrval.z ℤ/n
dchrval.b
dchrval.u Unit
dchrval.n
dchrbas.b
Assertion
Ref Expression
dchrelbas2 mulGrp MndHom mulGrpfld
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dchrelbas2
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 DChr
2 dchrval.z . . 3 ℤ/n
3 dchrval.b . . 3
4 dchrval.u . . 3 Unit
5 dchrval.n . . 3
6 dchrbas.b . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas 21012 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
8 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
98, 3mgpbas 15646 . . . . . . . . . 10 mulGrp
10 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11 mulGrpfld mulGrpfld
11 cnfldbas 16699 . . . . . . . . . . 11 fld
1210, 11mgpbas 15646 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
139, 12mhmf 14735 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld
1413adantl 453 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
15 ffun 5585 . . . . . . . 8
1614, 15syl 16 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
17 funssres 5485 . . . . . . 7
1816, 17sylan 458 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
19 simpr 448 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
20 resss 5162 . . . . . . 7
2119, 20syl6eqssr 3391 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
2218, 21impbida 806 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
23 0cn 9076 . . . . . . . . 9
24 fconst6g 5624 . . . . . . . . 9
2523, 24mp1i 12 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
26 fdm 5587 . . . . . . . 8
2725, 26syl 16 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
2827reseq2d 5138 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
2928eqeq1d 2443 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
3022, 29bitrd 245 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
31 difss 3466 . . . . . . . 8
32 fssres 5602 . . . . . . . 8
3314, 31, 32sylancl 644 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
34 ffn 5583 . . . . . . 7
3533, 34syl 16 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
36 ffn 5583 . . . . . . 7
3725, 36syl 16 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
38 eqfnfv 5819 . . . . . 6
3935, 37, 38syl2anc 643 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
40 fvres 5737 . . . . . . . 8
41 c0ex 9077 . . . . . . . . 9
4241fvconst2 5939 . . . . . . . 8
4340, 42eqeq12d 2449 . . . . . . 7
4443ralbiia 2729 . . . . . 6
45 eldif 3322 . . . . . . . . 9
4645imbi1i 316 . . . . . . . 8
47 impexp 434 . . . . . . . 8
48 con1b 324 . . . . . . . . . 10
49 df-ne 2600 . . . . . . . . . . 11
5049imbi1i 316 . . . . . . . . . 10
5148, 50bitr4i 244 . . . . . . . . 9
5251imbi2i 304 . . . . . . . 8
5346, 47, 523bitri 263 . . . . . . 7
5453ralbii2 2725 . . . . . 6
5544, 54bitri 241 . . . . 5
5639, 55syl6bb 253 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
5730, 56bitrd 245 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
5857pm5.32da 623 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
597, 58bitrd 245 1 mulGrp MndHom mulGrpfld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697   cdif 3309   wss 3312  csn 3806   cxp 4868   cdm 4870   cres 4872   wfun 5440   wfn 5441  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982  cn 9992  cbs 13461   MndHom cmhm 14728  mulGrpcmgp 15640  Unitcui 15736  ℂfldccnfld 16695  ℤ/nℤczn 16773  DChrcdchr 21008 This theorem is referenced by:  dchrelbas3  21014  dchrelbas4  21019  dchrmulcl  21025  dchrn0  21026  dchrmulid2  21028 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-mhm 14730  df-mgp 15641  df-cnfld 16696  df-dchr 21009
 Copyright terms: Public domain W3C validator