Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas2 Unicode version

Theorem dchrelbas2 20476
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g DChr
dchrval.z ℤ/n
dchrval.b
dchrval.u Unit
dchrval.n
dchrbas.b
Assertion
Ref Expression
dchrelbas2 mulGrp MndHom mulGrpfld
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dchrelbas2
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 DChr
2 dchrval.z . . 3 ℤ/n
3 dchrval.b . . 3
4 dchrval.u . . 3 Unit
5 dchrval.n . . 3
6 dchrbas.b . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas 20475 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
8 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 mulGrp mulGrp
98, 3mgpbas 15331 . . . . . . . . . 10 mulGrp
10 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11 mulGrpfld mulGrpfld
11 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . . 11 fld
1210, 11mgpbas 15331 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
139, 12mhmf 14420 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld
1413adantl 452 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
15 ffun 5391 . . . . . . . 8
1614, 15syl 15 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
17 funssres 5294 . . . . . . 7
1816, 17sylan 457 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
19 resss 4979 . . . . . . 7
20 simpr 447 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
2120sseq1d 3205 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
2219, 21mpbii 202 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
2318, 22impbida 805 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
24 0cn 8831 . . . . . . . . 9
25 fconst6g 5430 . . . . . . . . 9
2624, 25mp1i 11 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
27 fdm 5393 . . . . . . . 8
2826, 27syl 15 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
2928reseq2d 4955 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
3029eqeq1d 2291 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
3123, 30bitrd 244 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
32 difss 3303 . . . . . . . 8
33 fssres 5408 . . . . . . . 8
3414, 32, 33sylancl 643 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
35 ffn 5389 . . . . . . 7
3634, 35syl 15 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
37 ffn 5389 . . . . . . 7
3826, 37syl 15 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
39 eqfnfv 5622 . . . . . 6
4036, 38, 39syl2anc 642 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
41 fvres 5542 . . . . . . . 8
42 c0ex 8832 . . . . . . . . 9
4342fvconst2 5729 . . . . . . . 8
4441, 43eqeq12d 2297 . . . . . . 7
4544ralbiia 2575 . . . . . 6
46 eldif 3162 . . . . . . . . 9
4746imbi1i 315 . . . . . . . 8
48 impexp 433 . . . . . . . 8
49 con1b 323 . . . . . . . . . 10
50 df-ne 2448 . . . . . . . . . . 11
5150imbi1i 315 . . . . . . . . . 10
5249, 51bitr4i 243 . . . . . . . . 9
5352imbi2i 303 . . . . . . . 8
5447, 48, 533bitri 262 . . . . . . 7
5554ralbii2 2571 . . . . . 6
5645, 55bitri 240 . . . . 5
5740, 56syl6bb 252 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
5831, 57bitrd 244 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
5958pm5.32da 622 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
607, 59bitrd 244 1 mulGrp MndHom mulGrpfld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543   cdif 3149   wss 3152  csn 3640   cxp 4687   cdm 4689   cres 4691   wfun 5249   wfn 5250  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cc0 8737  cn 9746  cbs 13148   MndHom cmhm 14413  mulGrpcmgp 15325  Unitcui 15421  ℂfldccnfld 16377  ℤ/nℤczn 16454  DChrcdchr 20471 This theorem is referenced by:  dchrelbas3  20477  dchrelbas4  20482  dchrmulcl  20488  dchrn0  20489  dchrmulid2  20491 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-mhm 14415  df-mgp 15326  df-cnfld 16378  df-dchr 20472
 Copyright terms: Public domain W3C validator