Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas3 Structured version   Unicode version

Theorem dchrelbas3 21022
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g DChr
dchrval.z ℤ/n
dchrval.b
dchrval.u Unit
dchrval.n
dchrbas.b
Assertion
Ref Expression
dchrelbas3
Distinct variable groups:   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem dchrelbas3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3 DChr
2 dchrval.z . . 3 ℤ/n
3 dchrval.b . . 3
4 dchrval.u . . 3 Unit
5 dchrval.n . . 3
6 dchrbas.b . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas2 21021 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
8 fveq2 5728 . . . . . . . 8
98neeq1d 2614 . . . . . . 7
10 eleq1 2496 . . . . . . 7
119, 10imbi12d 312 . . . . . 6
1211cbvralv 2932 . . . . 5
135nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . 11
142zncrng 16825 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
16 crngrng 15674 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
18 eqid 2436 . . . . . . . . . 10 mulGrp mulGrp
1918rngmgp 15670 . . . . . . . . 9 mulGrp
2017, 19syl 16 . . . . . . . 8 mulGrp
21 cnrng 16723 . . . . . . . . 9 fld
22 eqid 2436 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld mulGrpfld
2322rngmgp 15670 . . . . . . . . 9 fld mulGrpfld
2421, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8 mulGrpfld
2518, 3mgpbas 15654 . . . . . . . . . 10 mulGrp
26 cnfldbas 16707 . . . . . . . . . . 11 fld
2722, 26mgpbas 15654 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
28 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
2918, 28mgpplusg 15652 . . . . . . . . . 10 mulGrp
30 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . 11 fld
3122, 30mgpplusg 15652 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
32 eqid 2436 . . . . . . . . . . 11
3318, 32rngidval 15666 . . . . . . . . . 10 mulGrp
34 cnfld1 16726 . . . . . . . . . . 11 fld
3522, 34rngidval 15666 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
3625, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 14740 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp mulGrpfld
3736baib 872 . . . . . . . 8 mulGrp mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
3820, 24, 37sylancl 644 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
3938adantr 452 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld
40 biimt 326 . . . . . . . . . . . . . . 15
4140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14
4217ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
43 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
453, 28rngcl 15677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4642, 43, 44, 45syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
47 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4948neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
50 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5149, 50imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5251rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5346, 47, 52sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5415ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
554, 28, 3unitmulclb 15770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5654, 43, 44, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5753, 56sylibd 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5857necon1bd 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6011rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6143, 47, 60sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6362neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
64 eleq1 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6563, 64imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6665rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6744, 47, 66sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6861, 67anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6968con3and 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
70 neanior 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170con2bii 323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7269, 71sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
73 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7473, 43ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7573, 44ffvelrnd 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7674, 75mul0ord 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7872, 77mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7959, 78eqtr4d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
8079a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . 15
8179, 802thd 232 . . . . . . . . . . . . . 14
8241, 81pm2.61dan 767 . . . . . . . . . . . . 13
8382pm5.74da 669 . . . . . . . . . . . 12
843, 4unitcl 15764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
853, 4unitcl 15764 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8684, 85anim12i 550 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786pm4.71ri 615 . . . . . . . . . . . . . 14
8887imbi1i 316 . . . . . . . . . . . . 13
89 impexp 434 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89bitri 241 . . . . . . . . . . . 12
9183, 90syl6bbr 255 . . . . . . . . . . 11
92912albidv 1637 . . . . . . . . . 10
93 r2al 2742 . . . . . . . . . 10
94 r2al 2742 . . . . . . . . . 10
9592, 93, 943bitr4g 280 . . . . . . . . 9
9695adantrr 698 . . . . . . . 8
9796pm5.32da 623 . . . . . . 7
98 3anan32 948 . . . . . . 7
99 an31 776 . . . . . . 7
10097, 98, 993bitr4g 280 . . . . . 6
10139, 100bitrd 245 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
10212, 101sylan2br 463 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
103102pm5.32da 623 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
104 ancom 438 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
105 df-3an 938 . . . . 5
106105anbi2i 676 . . . 4
107 an13 775 . . . 4
108106, 107bitri 241 . . 3
109103, 104, 1083bitr4g 280 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
1107, 109bitrd 245 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   w3a 936  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995  cn 10000  cn0 10221  cbs 13469  cmulr 13530  cmnd 14684   MndHom cmhm 14736  mulGrpcmgp 15648  crg 15660  ccrg 15661  cur 15662  Unitcui 15744  ℂfldccnfld 16703  ℤ/nℤczn 16781  DChrcdchr 21016 This theorem is referenced by:  dchrelbasd  21023  dchrf  21026  dchrmulcl  21033  dchrinv  21045  lgsdchr  21132 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zn 16785  df-dchr 21017
 Copyright terms: Public domain W3C validator