MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas3 Unicode version

Theorem dchrelbas3 20477
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of  CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrval.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrval.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrval.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrbas.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, N    x, U, y    ph, x, y    x, X, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    G( x, y)    N( y)

Proof of Theorem dchrelbas3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrval.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrval.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrbas.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas2 20476 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) )
8 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( X `  z )  =  ( X `  x ) )
98neeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  x )  =/=  0 ) )
10 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  U  <->  x  e.  U ) )
119, 10imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
1211cbvralv 2764 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U )  <->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
135nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
142zncrng 16498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
16 crngrng 15351 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
18 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1918rngmgp 15347 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
2017, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
21 cnrng 16396 . . . . . . . . 9  |-fld  e.  Ring
22 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2322rngmgp 15347 . . . . . . . . 9  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2421, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd
2518, 3mgpbas 15331 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
26 cnfldbas 16383 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2722, 26mgpbas 15331 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2918, 28mgpplusg 15329 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
30 cnfldmul 16385 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3122, 30mgpplusg 15329 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
32 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3318, 32rngidval 15343 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
34 cnfld1 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
3522, 34rngidval 15343 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
3625, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 14417 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( (
(mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  /\  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3736baib 871 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3820, 24, 37sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3938adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
40 biimt 325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4217ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  Ring )
43 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
44 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
453, 28rngcl 15354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  B )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  B )
47 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )
48 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  z )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
4948neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0 ) )
50 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
z  e.  U  <->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) )
5149, 50imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U ) ) )
5251rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x ( .r `  Z ) y )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) ) )
5346, 47, 52sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U ) )
5415ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  CRing
)
554, 28, 3unitmulclb 15447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  CRing  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5654, 43, 44, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5753, 56sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) )
5857necon1bd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 ) )
5958imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 )
6011rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
6143, 47, 60sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
62 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
6362neeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  y )  =/=  0 ) )
64 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  U  <->  y  e.  U ) )
6563, 64imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6665rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6744, 47, 66sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) )
6861, 67anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  ->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
6968con3and 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  -.  (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
70 neanior 2531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
7170con2bii 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X `  x
)  =  0  \/  ( X `  y
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
7269, 71sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
73 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  X : B
--> CC )
74 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X : B --> CC  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x
)  e.  CC )
7573, 43, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
76 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X : B --> CC  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  y
)  e.  CC )
7773, 44, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  y )  e.  CC )
7875, 77mul0ord 9418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
8072, 79mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y
) )  =  0 )
8159, 80eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
8281a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8381, 822thd 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8441, 83pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8584pm5.74da 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) ) )
863, 4unitcl 15441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U  ->  x  e.  B )
873, 4unitcl 15441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  U  ->  y  e.  B )
8886, 87anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )
8988pm4.71ri 614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
9089imbi1i 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
91 impexp 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9290, 91bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9385, 92syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
94932albidv 1613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
95 r2al 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
96 r2al 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x A. y ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9794, 95, 963bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
9897adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <->  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9998pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
100 3anan32 946 . . . . . . 7  |-  ( ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
101 an31 775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
10299, 100, 1013bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  <-> 
( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10339, 102bitrd 244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10412, 103sylan2br 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
105104pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) ) )
106 ancom 437 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  (
(mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) ) )
107 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) )
108107anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) ) )
109 an13 774 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
110108, 109bitri 240 . . 3  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
111105, 106, 1103bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
1127, 111bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   Mndcmnd 14361   MndHom cmhm 14413  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Unitcui 15421  ℂfldccnfld 16377  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrelbasd  20478  dchrf  20481  dchrmulcl  20488  dchrinv  20500  lgsdchr  20587
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zn 16458  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator