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Theorem dchrelbas3 20493
Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of  CC, which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrval.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrval.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrval.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrval.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrval.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrbas.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
dchrelbas3  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, N    x, U, y    ph, x, y    x, X, y    x, Z, y
Allowed substitution hints:    D( x, y)    G( x, y)    N( y)

Proof of Theorem dchrelbas3
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrval.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrval.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrval.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrval.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrval.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrbas.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrelbas2 20492 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) )
8 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  ( X `  z )  =  ( X `  x ) )
98neeq1d 2472 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  x )  =/=  0 ) )
10 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  (
z  e.  U  <->  x  e.  U ) )
119, 10imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
1211cbvralv 2777 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U )  <->  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
135nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
142zncrng 16514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
16 crngrng 15367 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
18 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
1918rngmgp 15363 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  Ring  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
2017, 19syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (mulGrp `  Z )  e.  Mnd )
21 cnrng 16412 . . . . . . . . 9  |-fld  e.  Ring
22 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
2322rngmgp 15363 . . . . . . . . 9  |-  (fld  e.  Ring  -> 
(mulGrp ` fld )  e.  Mnd )
2421, 23ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd
2518, 3mgpbas 15347 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  (mulGrp `  Z ) )
26 cnfldbas 16399 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2722, 26mgpbas 15347 . . . . . . . . . 10  |-  CC  =  ( Base `  (mulGrp ` fld ) )
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2918, 28mgpplusg 15345 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
30 cnfldmul 16401 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3122, 30mgpplusg 15345 . . . . . . . . . 10  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
32 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3318, 32rngidval 15359 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
34 cnfld1 16415 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1r ` fld )
3522, 34rngidval 15359 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
3625, 27, 29, 31, 33, 35ismhm 14433 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( (
(mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  /\  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3736baib 871 . . . . . . . 8  |-  ( ( (mulGrp `  Z )  e.  Mnd  /\  (mulGrp ` fld )  e.  Mnd )  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3820, 24, 37sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
3938adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 ) ) )
40 biimt 325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4140adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  <-> 
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
4217ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  Ring )
43 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  B )
44 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  B )
453, 28rngcl 15370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  B )
4642, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  B )
47 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )
48 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  z )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
4948neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0 ) )
50 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
z  e.  U  <->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) )
5149, 50imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U ) ) )
5251rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x ( .r `  Z ) y )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  =/=  0  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  U ) ) )
5346, 47, 52sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U ) )
5415ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  Z  e.  CRing
)
554, 28, 3unitmulclb 15463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Z  e.  CRing  /\  x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5654, 43, 44, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U  <->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
5753, 56sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =/=  0  ->  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
) )
5857necon1bd 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 ) )
5958imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  0 )
6011rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )
6143, 47, 60sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( z  =  y  ->  ( X `  z )  =  ( X `  y ) )
6362neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
( X `  z
)  =/=  0  <->  ( X `  y )  =/=  0 ) )
64 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  U  <->  y  e.  U ) )
6563, 64imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  y  ->  (
( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  <-> 
( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6665rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U )  ->  ( ( X `
 y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) ) )
6744, 47, 66sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  y )  =/=  0  ->  y  e.  U ) )
6861, 67anim12d 546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  ->  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
6968con3and 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  -.  (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
70 neanior 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X `  x
)  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
7170con2bii 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X `  x
)  =  0  \/  ( X `  y
)  =  0 )  <->  -.  ( ( X `  x )  =/=  0  /\  ( X `  y
)  =/=  0 ) )
7269, 71sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) )
73 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  X : B
--> CC )
74 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X : B --> CC  /\  x  e.  B )  ->  ( X `  x
)  e.  CC )
7573, 43, 74syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
76 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( X : B --> CC  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  y
)  e.  CC )
7773, 44, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( X `  y )  e.  CC )
7875, 77mul0ord 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
7978adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  =  0  <->  ( ( X `  x )  =  0  \/  ( X `  y )  =  0 ) ) )
8072, 79mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y
) )  =  0 )
8159, 80eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
8281a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) )
8381, 822thd 231 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  /\  -.  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8441, 83pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  /\  (
x  e.  B  /\  y  e.  B )
)  ->  ( ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  <->  ( (
x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
8584pm5.74da 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) ) )
863, 4unitcl 15457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  U  ->  x  e.  B )
873, 4unitcl 15457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  U  ->  y  e.  B )
8886, 87anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) )
8988pm4.71ri 614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) ) )
9089imbi1i 315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
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`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
91 impexp 433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
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`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
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 y ) ) ) ) )
9290, 91bitri 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  U  /\  y  e.  U
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`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
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 y ) ) )  <->  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( x  e.  U  /\  y  e.  U
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`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) ) )
9385, 92syl6bbr 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  (
( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) ) ) )
94932albidv 1617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x A. y ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
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`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
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 y ) ) )  <->  A. x A. y
( ( x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
95 r2al 2593 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
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 x )  x.  ( X `  y
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( .r `  Z
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 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
96 r2al 2593 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
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 x )  x.  ( X `  y
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( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
9794, 95, 963bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  X : B
--> CC )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
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 y ) ) ) )
9897adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. z  e.  B  (
( X `  z
)  =/=  0  -> 
z  e.  U ) )  /\  ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 ) )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
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 x )  x.  ( X `  y
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9998pm5.32da 622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
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( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) ) )
100 3anan32 946 . . . . . . 7  |-  ( ( X : B --> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
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`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x
( .r `  Z
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 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
101 an31 775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
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 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC )  <->  ( ( X : B --> CC  /\  ( X `  ( 1r
`  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) ) )
10299, 100, 1013bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( ( X : B
--> CC  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  <-> 
( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
10339, 102bitrd 244 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. z  e.  B  ( ( X `  z )  =/=  0  ->  z  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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10412, 103sylan2br 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  -> 
( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  <->  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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105104pm5.32da 622 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) ) )
106 ancom 437 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) )  <->  ( A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  X  e.  (
(mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) ) ) )
107 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) )
108107anbi2i 675 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
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( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
) ) )
109 an13 774 . . . 4  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
110108, 109bitri 240 . . 3  |-  ( ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) )  <-> 
( A. x  e.  B  ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  U )  /\  (
( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )  /\  X : B --> CC ) ) )
111105, 106, 1103bitr4g 279 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  B  (
( X `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  U )
)  <->  ( X : B
--> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
1127, 111bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X : B --> CC  /\  ( A. x  e.  U  A. y  e.  U  ( X `  ( x ( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) )  /\  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1  /\  A. x  e.  B  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  U ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   .rcmulr 13225   Mndcmnd 14377   MndHom cmhm 14429  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  Unitcui 15437  ℂfldccnfld 16393  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrelbasd  20494  dchrf  20497  dchrmulcl  20504  dchrinv  20516  lgsdchr  20603
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zn 16474  df-dchr 20488
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