Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrelbas4 Structured version   Unicode version

Theorem dchrelbas4 21032
 Description: A Dirichlet character is a monoid homomorphism from the multiplicative monoid on ℤ/nℤ to the multiplicative monoid of , which is zero off the group of units of ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrelbas4.l RHom
Assertion
Ref Expression
dchrelbas4 mulGrp MndHom mulGrpfld
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem dchrelbas4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4 DChr
2 dchrmhm.b . . . 4
31, 2dchrrcl 21029 . . 3
4 dchrmhm.z . . . . 5 ℤ/n
5 eqid 2438 . . . . 5
6 eqid 2438 . . . . 5 Unit Unit
7 id 21 . . . . 5
81, 4, 5, 6, 7, 2dchrelbas2 21026 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
9 nnnn0 10233 . . . . . . . 8
109adantr 453 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
11 dchrelbas4.l . . . . . . . 8 RHom
124, 5, 11znzrhfo 16833 . . . . . . 7
13 fveq2 5731 . . . . . . . . . 10
1413neeq1d 2616 . . . . . . . . 9
15 eleq1 2498 . . . . . . . . 9 Unit Unit
1614, 15imbi12d 313 . . . . . . . 8 Unit Unit
1716cbvfo 6025 . . . . . . 7 Unit Unit
1810, 12, 173syl 19 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit Unit
19 df-ne 2603 . . . . . . . . . 10
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld
214, 6, 11znunit 16849 . . . . . . . . . . 11 Unit
2210, 21sylan 459 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
23 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
25 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp MndHom mulGrpfld
26 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp MndHom mulGrpfld
2726nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp MndHom mulGrpfld
28 nnne0 10037 . . . . . . . . . . . . . . 15
29 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3029necon3ai 2646 . . . . . . . . . . . . . . 15
3126, 28, 303syl 19 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp MndHom mulGrpfld
32 gcdn0cl 13019 . . . . . . . . . . . . . 14
3325, 27, 31, 32syl21anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp MndHom mulGrpfld
3433nnred 10020 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
3533nnge1d 10047 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
3624, 34, 35leltned 9229 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld
3736necon2bbid 2664 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld
3822, 37bitrd 246 . . . . . . . . 9 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
3920, 38imbi12d 313 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
40 con34b 285 . . . . . . . 8
4139, 40syl6bbr 256 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
4241ralbidva 2723 . . . . . 6 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
4318, 42bitr3d 248 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
4443pm5.32da 624 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit mulGrp MndHom mulGrpfld
458, 44bitrd 246 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
463, 45biadan2 625 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld
47 3anass 941 . 2 mulGrp MndHom mulGrpfld mulGrp MndHom mulGrpfld
4846, 47bitr4i 245 1 mulGrp MndHom mulGrpfld
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   class class class wbr 4215  wfo 5455  cfv 5457  (class class class)co 6084  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   clt 9125  cn 10005  cn0 10226  cz 10287   cgcd 13011  cbs 13474   MndHom cmhm 14741  mulGrpcmgp 15653  Unitcui 15749  ℂfldccnfld 16708  RHomczrh 16783  ℤ/nℤczn 16786  DChrcdchr 21021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-ghm 15009  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-cnfld 16709  df-zrh 16787  df-zn 16790  df-dchr 21022
 Copyright terms: Public domain W3C validator