MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Structured version   Unicode version

Theorem dchreq 21034
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrresb.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrresb.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrresb.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrresb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrresb.Y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchreq  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    U, k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    G( k)    N( k)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrresb.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrresb.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrresb.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 21018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
9 dchrresb.Y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
101, 2, 3, 4, 9dchrf 21018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
11 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
13 eqfnfv 5819 . . . 4  |-  ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z
) )  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z
) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
148, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
15 dchrresb.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  Z )
164, 15unitss 15757 . . . . . 6  |-  U  C_  ( Base `  Z )
17 undif 3700 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  ( Base `  Z
)  <->  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  =  ( Base `  Z ) )
1816, 17mpbi 200 . . . . 5  |-  ( U  u.  ( ( Base `  Z )  \  U
) )  =  (
Base `  Z )
1918raleqi 2900 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
20 ralunb 3520 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2119, 20bitr3i 243 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `
 k )  =  ( Y `  k
)  <->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2214, 21syl6bb 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
23 eldif 3322 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  Z )  \  U
)  <->  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )
245adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  X  e.  D )
25 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  k  e.  ( Base `  Z )
)
261, 2, 3, 4, 15, 24, 25dchrn0 21026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
2726biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2827necon1bd 2666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k )  =  0 ) )
2928impr 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( X `  k
)  =  0 )
3023, 29sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  0 )
319adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  Y  e.  D )
321, 2, 3, 4, 15, 31, 25dchrn0 21026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
3332biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
3433necon1bd 2666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( Y `  k )  =  0 ) )
3534impr 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( Y `  k
)  =  0 )
3623, 35sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( Y `  k )  =  0 )
3730, 36eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
3837ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) )
3938biantrud 494 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
4022, 39bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697    \ cdif 3309    u. cun 3310    C_ wss 3312    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446   CCcc 8980   0cc0 8982   Basecbs 13461  Unitcui 15736  ℤ/nczn 16773  DChrcdchr 21008
This theorem is referenced by:  dchrresb  21035  dchrinv  21037  dchrsum2  21044
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-imas 13726  df-divs 13727  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-2idl 16295  df-cnfld 16696  df-zn 16777  df-dchr 21009
  Copyright terms: Public domain W3C validator