MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchreq Unicode version

Theorem dchreq 20909
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrresb.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrresb.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrresb.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrresb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrresb.Y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchreq  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    U, k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    G( k)    N( k)

Proof of Theorem dchreq
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrresb.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrresb.b . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrresb.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 20893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 ffn 5531 . . . . 5  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
86, 7syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
9 dchrresb.Y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
101, 2, 3, 4, 9dchrf 20893 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
11 ffn 5531 . . . . 5  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
13 eqfnfv 5766 . . . 4  |-  ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z
) )  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z
) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
148, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
15 dchrresb.u . . . . . . 7  |-  U  =  (Unit `  Z )
164, 15unitss 15692 . . . . . 6  |-  U  C_  ( Base `  Z )
17 undif 3651 . . . . . 6  |-  ( U 
C_  ( Base `  Z
)  <->  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  =  ( Base `  Z ) )
1816, 17mpbi 200 . . . . 5  |-  ( U  u.  ( ( Base `  Z )  \  U
) )  =  (
Base `  Z )
1918raleqi 2851 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <->  A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
20 ralunb 3471 . . . 4  |-  ( A. k  e.  ( U  u.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
) ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2119, 20bitr3i 243 . . 3  |-  ( A. k  e.  ( Base `  Z ) ( X `
 k )  =  ( Y `  k
)  <->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) )
2214, 21syl6bb 253 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
23 eldif 3273 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( ( Base `  Z )  \  U
)  <->  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )
245adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  X  e.  D )
25 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  k  e.  ( Base `  Z )
)
261, 2, 3, 4, 15, 24, 25dchrn0 20901 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
2726biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2827necon1bd 2618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k )  =  0 ) )
2928impr 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( X `  k
)  =  0 )
3023, 29sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  0 )
319adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  Y  e.  D )
321, 2, 3, 4, 15, 31, 25dchrn0 20901 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  <->  k  e.  U
) )
3332biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( Y `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
3433necon1bd 2618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( Y `  k )  =  0 ) )
3534impr 603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( Base `  Z
)  /\  -.  k  e.  U ) )  -> 
( Y `  k
)  =  0 )
3623, 35sylan2b 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( Y `  k )  =  0 )
3730, 36eqtr4d 2422 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
)  ->  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) )
3837ralrimiva 2732 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) )
3938biantrud 494 . 2  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  <-> 
( A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k )  /\  A. k  e.  ( ( Base `  Z
)  \  U )
( X `  k
)  =  ( Y `
 k ) ) ) )
4022, 39bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649    \ cdif 3260    u. cun 3261    C_ wss 3263    Fn wfn 5389   -->wf 5390   ` cfv 5394   CCcc 8921   0cc0 8923   Basecbs 13396  Unitcui 15671  ℤ/nczn 16704  DChrcdchr 20883
This theorem is referenced by:  dchrresb  20910  dchrinv  20912  dchrsum2  20919
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-imas 13661  df-divs 13662  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-subg 14868  df-nsg 14869  df-eqg 14870  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-invr 15704  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-lidl 16173  df-rsp 16174  df-2idl 16230  df-cnfld 16627  df-zn 16708  df-dchr 20884
  Copyright terms: Public domain W3C validator