Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrfi Structured version   Unicode version

Theorem dchrfi 21044
 Description: The group of Dirichlet characters is a finite group. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabl.g DChr
dchrfi.b
Assertion
Ref Expression
dchrfi

Proof of Theorem dchrfi
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snfi 7190 . . . 4
2 cnex 9076 . . . . . . . . 9
32a1i 11 . . . . . . . 8
4 ovex 6109 . . . . . . . . 9
54a1i 11 . . . . . . . 8
6 ax-1cn 9053 . . . . . . . . 9
76a1i 11 . . . . . . . 8
8 eqidd 2439 . . . . . . . 8
9 fconstmpt 4924 . . . . . . . . 9
109a1i 11 . . . . . . . 8
113, 5, 7, 8, 10offval2 6325 . . . . . . 7
12 ssid 3369 . . . . . . . . . 10
1312a1i 11 . . . . . . . . 9
146a1i 11 . . . . . . . . 9
15 phicl 13163 . . . . . . . . . 10
1615nnnn0d 10279 . . . . . . . . 9
17 plypow 20129 . . . . . . . . 9 Poly
1813, 14, 16, 17syl3anc 1185 . . . . . . . 8 Poly
19 plyconst 20130 . . . . . . . . 9 Poly
2012, 6, 19mp2an 655 . . . . . . . 8 Poly
21 plysubcl 20146 . . . . . . . 8 Poly Poly Poly
2218, 20, 21sylancl 645 . . . . . . 7 Poly
2311, 22eqeltrrd 2513 . . . . . 6 Poly
24 0cn 9089 . . . . . . 7
25 ax-1ne0 9064 . . . . . . . . 9
266, 25negne0i 9380 . . . . . . . 8
27150expd 11544 . . . . . . . . . . 11
2827oveq1d 6099 . . . . . . . . . 10
29 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . 13
3029oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . 12
31 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12
32 ovex 6109 . . . . . . . . . . . 12
3330, 31, 32fvmpt 5809 . . . . . . . . . . 11
3424, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
35 df-neg 9299 . . . . . . . . . 10
3628, 34, 353eqtr4g 2495 . . . . . . . . 9
3736neeq1d 2616 . . . . . . . 8
3826, 37mpbiri 226 . . . . . . 7
39 ne0p 20131 . . . . . . 7
4024, 38, 39sylancr 646 . . . . . 6
4131mptiniseg 5367 . . . . . . . . 9
4224, 41ax-mp 5 . . . . . . . 8
4342eqcomi 2442 . . . . . . 7
4443fta1 20230 . . . . . 6 Poly deg
4523, 40, 44syl2anc 644 . . . . 5 deg
4645simpld 447 . . . 4
47 unfi 7377 . . . 4
481, 46, 47sylancr 646 . . 3
49 eqid 2438 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
50 eqid 2438 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
5149, 50znfi 16845 . . 3 ℤ/n
52 mapfi 7406 . . 3 ℤ/n ℤ/n
5348, 51, 52syl2anc 644 . 2 ℤ/n
54 dchrabl.g . . . . . . . 8 DChr
55 dchrfi.b . . . . . . . 8
56 simpr 449 . . . . . . . 8
5754, 49, 55, 50, 56dchrf 21031 . . . . . . 7 ℤ/n
58 ffn 5594 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n
5957, 58syl 16 . . . . . 6 ℤ/n
60 df-ne 2603 . . . . . . . . . . 11
61 fvex 5745 . . . . . . . . . . . 12
6261elsnc 3839 . . . . . . . . . . 11
6360, 62xchbinxr 304 . . . . . . . . . 10
64 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n ℤ/n
65 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n ℤ/n
6657, 64, 65syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
6754, 49, 55dchrmhm 21030 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrpℤ/n MndHom mulGrpfld
68 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ/n
6967, 68sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ/n mulGrpℤ/n MndHom mulGrpfld
7016ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ/n
71 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ/n ℤ/n
72 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 mulGrpℤ/n mulGrpℤ/n
7372, 50mgpbas 15659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ/n mulGrpℤ/n
74 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 .gmulGrpℤ/n .gmulGrpℤ/n
75 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
7673, 74, 75mhmmulg 14927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpℤ/n MndHom mulGrpfld ℤ/n .gmulGrpℤ/n .gmulGrpfld
7769, 70, 71, 76syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n .gmulGrpℤ/n .gmulGrpfld
78 nnnn0 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7949zncrng 16830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ℤ/n
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℤ/n
81 crngrng 15679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ℤ/n ℤ/n
8280, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ℤ/n
8382ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℤ/n ℤ/n
84 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Unitℤ/n Unitℤ/n
85 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 mulGrpℤ/ns Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
8684, 85unitgrp 15777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
8783, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
8849, 84znunithash 16850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Unitℤ/n
8988, 16eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Unitℤ/n
90 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Unitℤ/n
91 hashclb 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Unitℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
9290, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Unitℤ/n Unitℤ/n
9389, 92sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Unitℤ/n
9493ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ/n Unitℤ/n
95 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℤ/n
9654, 49, 55, 50, 84, 68, 71dchrn0 21039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℤ/n Unitℤ/n
9795, 96mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ/n Unitℤ/n
9884, 85unitgrpbas 15776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
99 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 mulGrpℤ/ns Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
10098, 99oddvds2 15207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 mulGrpℤ/ns Unitℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n Unitℤ/n
10187, 94, 97, 100syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n Unitℤ/n
10288ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n Unitℤ/n
103101, 102breqtrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
10415ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ/n
105104nnzd 10379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n
106 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n
107 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 mulGrpℤ/ns Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
10898, 99, 106, 107oddvds 15190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 mulGrpℤ/ns Unitℤ/n Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
10987, 97, 105, 108syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
110103, 109mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ/n .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
11184, 72unitsubm 15780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n Unitℤ/n SubMndmulGrpℤ/n
11283, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℤ/n Unitℤ/n SubMndmulGrpℤ/n
11374, 85, 106submmulg 14930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unitℤ/n SubMndmulGrpℤ/n Unitℤ/n .gmulGrpℤ/n .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n
114112, 70, 97, 113syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ/n .gmulGrpℤ/n .gmulGrpℤ/ns Unitℤ/n
115 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℤ/n ℤ/n
11672, 115rngidval 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n mulGrpℤ/n
11785, 116subm0 14761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Unitℤ/n SubMndmulGrpℤ/n ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
118112, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℤ/n ℤ/n mulGrpℤ/ns Unitℤ/n
119110, 114, 1183eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ/n .gmulGrpℤ/n ℤ/n
120119fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n .gmulGrpℤ/n ℤ/n
12177, 120eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n .gmulGrpfld ℤ/n
122 cnfldexp 16739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 .gmulGrpfld
12366, 70, 122syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n .gmulGrpfld
124 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrpfld mulGrpfld
125 cnfld1 16731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
126124, 125rngidval 15671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpfld
127116, 126mhm0 14751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrpℤ/n MndHom mulGrpfld ℤ/n
12869, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n ℤ/n
129121, 123, 1283eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n
130129oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n
131 1m1e0 10073 . . . . . . . . . . . . 13
132130, 131syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
133 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15
134133oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . 14
135134eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . 13
136135elrab 3094 . . . . . . . . . . . 12
13766, 132, 136sylanbrc 647 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
138137expr 600 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
13963, 138syl5bir 211 . . . . . . . . 9 ℤ/n
140139orrd 369 . . . . . . . 8 ℤ/n
141 elun 3490 . . . . . . . 8
142140, 141sylibr 205 . . . . . . 7 ℤ/n
143142ralrimiva 2791 . . . . . 6 ℤ/n
144 ffnfv 5897 . . . . . 6 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
14559, 143, 144sylanbrc 647 . . . . 5 ℤ/n
146145ex 425 . . . 4 ℤ/n
147 elmapg 7034 . . . . 5 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
14848, 51, 147syl2anc 644 . . . 4 ℤ/n ℤ/n
149146, 148sylibrd 227 . . 3 ℤ/n
150149ssrdv 3356 . 2 ℤ/n
151 ssfi 7332 . 2 ℤ/n ℤ/n
15253, 150, 151syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  crab 2711  cvv 2958   cun 3320   wss 3322  csn 3816   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cxp 4879  ccnv 4880  cima 4884   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306   cmap 7021  cfn 7112  cc 8993  cc0 8995  c1 8996   cle 9126   cmin 9296  cneg 9297  cn 10005  cn0 10226  cz 10287  cexp 11387  chash 11623   cdivides 12857  cphi 13158  cbs 13474   ↾s cress 13475  c0g 13728  cgrp 14690  .gcmg 14694   MndHom cmhm 14741  SubMndcsubmnd 14742  cod 15168  mulGrpcmgp 15653  crg 15665  ccrg 15666  cur 15667  Unitcui 15749  ℂfldccnfld 16708  ℤ/nℤczn 16786  c0p 19564  Polycply 20108  degcdgr 20111  DChrcdchr 21021 This theorem is referenced by:  sumdchr2  21059  dchrhash  21060  rpvmasum2  21211  dchrisum0re  21212 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-dvds 12858  df-gcd 13012  df-phi 13160  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-ghm 15009  df-od 15172  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-rnghom 15824  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-cnfld 16709  df-zrh 16787  df-zn 16790  df-0p 19565  df-ply 20112  df-idp 20113  df-coe 20114  df-dgr 20115  df-quot 20213  df-dchr 21022
 Copyright terms: Public domain W3C validator