Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrghm Structured version   Unicode version

Theorem dchrghm 21042
 Description: A Dirichlet character restricted to the unit group of ℤ/nℤ is a group homomorphism into the multiplicative group of nonzero complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrghm.g DChr
dchrghm.z ℤ/n
dchrghm.b
dchrghm.u Unit
dchrghm.h mulGrps
dchrghm.m mulGrpflds
dchrghm.x
Assertion
Ref Expression
dchrghm

Proof of Theorem dchrghm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrghm.g . . . . . 6 DChr
2 dchrghm.z . . . . . 6 ℤ/n
3 dchrghm.b . . . . . 6
41, 2, 3dchrmhm 21027 . . . . 5 mulGrp MndHom mulGrpfld
5 dchrghm.x . . . . 5
64, 5sseldi 3348 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
71, 3dchrrcl 21026 . . . . . . . . 9
85, 7syl 16 . . . . . . . 8
98nnnn0d 10276 . . . . . . 7
102zncrng 16827 . . . . . . 7
119, 10syl 16 . . . . . 6
12 crngrng 15676 . . . . . 6
1311, 12syl 16 . . . . 5
14 dchrghm.u . . . . . 6 Unit
15 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrp mulGrp
1614, 15unitsubm 15777 . . . . 5 SubMndmulGrp
1713, 16syl 16 . . . 4 SubMndmulGrp
18 dchrghm.h . . . . 5 mulGrps
1918resmhm 14761 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld SubMndmulGrp MndHom mulGrpfld
206, 17, 19syl2anc 644 . . 3 MndHom mulGrpfld
21 cnrng 16725 . . . . 5 fld
22 cnfldbas 16709 . . . . . . 7 fld
23 cnfld0 16727 . . . . . . 7 fld
24 cndrng 16732 . . . . . . 7 fld
2522, 23, 24drngui 15843 . . . . . 6 Unitfld
26 eqid 2438 . . . . . 6 mulGrpfld mulGrpfld
2725, 26unitsubm 15777 . . . . 5 fld SubMndmulGrpfld
2821, 27ax-mp 8 . . . 4 SubMndmulGrpfld
29 df-ima 4893 . . . . 5
30 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
311, 2, 3, 30, 5dchrf 21028 . . . . . . . . 9
3230, 14unitss 15767 . . . . . . . . . 10
3332sseli 3346 . . . . . . . . 9
34 ffvelrn 5870 . . . . . . . . 9
3531, 33, 34syl2an 465 . . . . . . . 8
36 simpr 449 . . . . . . . . 9
375adantr 453 . . . . . . . . . 10
3833adantl 454 . . . . . . . . . 10
391, 2, 3, 30, 14, 37, 38dchrn0 21036 . . . . . . . . 9
4036, 39mpbird 225 . . . . . . . 8
41 eldifsn 3929 . . . . . . . 8
4235, 40, 41sylanbrc 647 . . . . . . 7
4342ralrimiva 2791 . . . . . 6
44 ffun 5595 . . . . . . . 8
4531, 44syl 16 . . . . . . 7
46 fdm 5597 . . . . . . . . 9
4731, 46syl 16 . . . . . . . 8
4832, 47syl5sseqr 3399 . . . . . . 7
49 funimass4 5779 . . . . . . 7
5045, 48, 49syl2anc 644 . . . . . 6
5143, 50mpbird 225 . . . . 5
5229, 51syl5eqssr 3395 . . . 4
53 dchrghm.m . . . . 5 mulGrpflds
5453resmhm2b 14763 . . . 4 SubMndmulGrpfld MndHom mulGrpfld MndHom
5528, 52, 54sylancr 646 . . 3 MndHom mulGrpfld MndHom
5620, 55mpbid 203 . 2 MndHom
5714, 18unitgrp 15774 . . . 4
5813, 57syl 16 . . 3
5953cnmgpabl 16762 . . . 4
60 ablgrp 15419 . . . 4
6159, 60ax-mp 8 . . 3
62 ghmmhmb 15019 . . 3 MndHom
6358, 61, 62sylancl 645 . 2 MndHom
6456, 63eleqtrrd 2515 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   cdif 3319   wss 3322  csn 3816   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  cima 4883   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cc0 8992  cn 10002  cn0 10223  cbs 13471   ↾s cress 13472  cgrp 14687   MndHom cmhm 14738  SubMndcsubmnd 14739   cghm 15005  cabel 15415  mulGrpcmgp 15650  crg 15662  ccrg 15663  Unitcui 15746  ℂfldccnfld 16705  ℤ/nℤczn 16783  DChrcdchr 21018 This theorem is referenced by:  dchrabs  21046  sum2dchr  21060 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-imas 13736  df-divs 13737  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-cnfld 16706  df-zn 16787  df-dchr 21019
 Copyright terms: Public domain W3C validator