Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinv Structured version   Unicode version

Theorem dchrinv 21050
 Description: The inverse of a Dirichlet character is the conjugate (which is also the multiplicative inverse, because the values of are unimodular). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrabs.g DChr
dchrabs.d
dchrabs.x
dchrinv.i
Assertion
Ref Expression
dchrinv

Proof of Theorem dchrinv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrabs.g . . . . . . . 8 DChr
2 eqid 2438 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
3 dchrabs.d . . . . . . . 8
4 eqid 2438 . . . . . . . 8
5 dchrabs.x . . . . . . . 8
6 cjf 11914 . . . . . . . . . 10
7 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n ℤ/n
81, 2, 3, 7, 5dchrf 21031 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
9 fco 5603 . . . . . . . . . 10 ℤ/n ℤ/n
106, 8, 9sylancr 646 . . . . . . . . 9 ℤ/n
11 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Unitℤ/n Unitℤ/n
121, 3dchrrcl 21029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 21027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
155, 14mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
1615simprd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
1716simp1d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n
1817r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n Unitℤ/nℤ/n
1918r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2019anasss 630 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2120fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
228adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
237, 11unitss 15770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n ℤ/n
24 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
2523, 24sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2622, 25ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n
27 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Unitℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
2823, 27sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . 15 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
2922, 28ffvelrnd 5874 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n
3026, 29cjmuld 12031 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n
3121, 30eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
3213nnnn0d 10279 . . . . . . . . . . . . . . . 16
332zncrng 16830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
34 crngrng 15679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n ℤ/n
3532, 33, 343syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n
3635adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
37 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n ℤ/n
387, 37rngcl 15682 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
3936, 25, 28, 38syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n
40 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
4122, 39, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n
42 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n
4322, 25, 42syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n
44 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n
4522, 28, 44syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13 Unitℤ/n Unitℤ/n
4643, 45oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12 Unitℤ/n Unitℤ/n
4731, 41, 463eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . 11 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
4847ralrimivva 2800 . . . . . . . . . 10 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n
49 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n ℤ/n
507, 49rngidcl 15689 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n ℤ/n ℤ/n
5135, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n ℤ/n
52 fvco3 5803 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
538, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n ℤ/n
5416simp2d 971 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n
5554fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
56 1re 9095 . . . . . . . . . . . . 13
57 cjre 11949 . . . . . . . . . . . . 13
5856, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
5955, 58syl6eq 2486 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n
6053, 59eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10 ℤ/n
6116simp3d 972 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n Unitℤ/n
628, 42sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
63 cj0 11968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6463eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
6662, 65eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n
678ffvelrnda 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℤ/n
68 0cn 9089 . . . . . . . . . . . . . . . 16
69 cj11 11972 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7067, 68, 69sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℤ/n
7166, 70bitrd 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ/n
7271necon3bid 2638 . . . . . . . . . . . . 13 ℤ/n
7372imbi1d 310 . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n
7473ralbidva 2723 . . . . . . . . . . 11 ℤ/n Unitℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
7561, 74mpbird 225 . . . . . . . . . 10 ℤ/n Unitℤ/n
7648, 60, 753jca 1135 . . . . . . . . 9 Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
771, 2, 7, 11, 13, 3dchrelbas3 21027 . . . . . . . . 9 ℤ/n Unitℤ/n Unitℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n Unitℤ/n
7810, 76, 77mpbir2and 890 . . . . . . . 8
791, 2, 3, 4, 5, 78dchrmul 21037 . . . . . . 7
8079adantr 453 . . . . . 6 Unitℤ/n
8180fveq1d 5733 . . . . 5 Unitℤ/n
8223sseli 3346 . . . . . . . . 9 Unitℤ/n ℤ/n
8382, 62sylan2 462 . . . . . . . 8 Unitℤ/n
8483oveq2d 6100 . . . . . . 7 Unitℤ/n
8582, 67sylan2 462 . . . . . . . 8 Unitℤ/n
8685absvalsqd 12249 . . . . . . 7 Unitℤ/n
875adantr 453 . . . . . . . . . 10 Unitℤ/n
88 simpr 449 . . . . . . . . . 10 Unitℤ/n Unitℤ/n
891, 3, 87, 2, 11, 88dchrabs 21049 . . . . . . . . 9 Unitℤ/n
9089oveq1d 6099 . . . . . . . 8 Unitℤ/n
91 sq1 11481 . . . . . . . 8
9290, 91syl6eq 2486 . . . . . . 7 Unitℤ/n
9384, 86, 923eqtr2d 2476 . . . . . 6 Unitℤ/n
948adantr 453 . . . . . . . 8 Unitℤ/n ℤ/n
95 ffn 5594 . . . . . . . 8 ℤ/n ℤ/n
9694, 95syl 16 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
97 ffn 5594 . . . . . . . . 9 ℤ/n ℤ/n
9810, 97syl 16 . . . . . . . 8 ℤ/n
9998adantr 453 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
100 fvex 5745 . . . . . . . 8 ℤ/n
101100a1i 11 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
10282adantl 454 . . . . . . 7 Unitℤ/n ℤ/n
103 fnfvof 6320 . . . . . . 7 ℤ/n ℤ/n ℤ/n ℤ/n
10496, 99, 101, 102, 103syl22anc 1186 . . . . . 6 Unitℤ/n
105 eqid 2438 . . . . . . 7
10613adantr 453 . . . . . . 7 Unitℤ/n
1071, 2, 105, 11, 106, 88dchr1 21046 . . . . . 6 Unitℤ/n
10893, 104, 1073eqtr4d 2480 . . . . 5 Unitℤ/n
10981, 108eqtrd 2470 . . . 4 Unitℤ/n
110109ralrimiva 2791 . . 3 Unitℤ/n
1111, 2, 3, 4, 5, 78dchrmulcl 21038 . . . 4
1121dchrabl 21043 . . . . . 6
113 ablgrp 15422 . . . . . 6
11413, 112, 1133syl 19 . . . . 5
1153, 105grpidcl 14838 . . . . 5
116114, 115syl 16 . . . 4
1171, 2, 3, 11, 111, 116dchreq 21047 . . 3 Unitℤ/n
118110, 117mpbird 225 . 2
119 dchrinv.i . . . 4
1203, 4, 105, 119grpinvid1 14858 . . 3
121114, 5, 78, 120syl3anc 1185 . 2
122118, 121mpbird 225 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  cvv 2958   ccom 4885   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084   cof 6306  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   cmul 9000  cn 10005  c2 10054  cn0 10226  cexp 11387  ccj 11906  cabs 12044  cbs 13474   cplusg 13534  cmulr 13535  c0g 13728  cgrp 14690  cminusg 14691  cabel 15418  crg 15665  ccrg 15666  cur 15667  Unitcui 15749  ℤ/nℤczn 16786  DChrcdchr 21021 This theorem is referenced by:  dchr2sum  21062  dchrisum0re  21212 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4186  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-omul 6732  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-acn 7834  df-cda 8053  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ioc 10926  df-ico 10927  df-icc 10928  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-mod 11256  df-seq 11329  df-exp 11388  df-fac 11572  df-bc 11599  df-hash 11624  df-shft 11887  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-limsup 12270  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ef 12675  df-sin 12677  df-cos 12678  df-pi 12680  df-dvds 12858  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-hom 13558  df-cco 13559  df-rest 13655  df-topn 13656  df-topgen 13672  df-pt 13673  df-prds 13676  df-xrs 13731  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-qtop 13738  df-imas 13739  df-divs 13740  df-xps 13741  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-od 15172  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-dvr 15793  df-rnghom 15824  df-drng 15842  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-fbas 16704  df-fg 16705  df-cnfld 16709  df-zrh 16787  df-zn 16790  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-nei 17167  df-lp 17205  df-perf 17206  df-cn 17296  df-cnp 17297  df-haus 17384  df-tx 17599  df-hmeo 17792  df-fil 17883  df-fm 17975  df-flim 17976  df-flf 17977  df-xms 18355  df-ms 18356  df-tms 18357  df-cncf 18913  df-limc 19758  df-dv 19759  df-log 20459  df-cxp 20460  df-dchr 21022
 Copyright terms: Public domain W3C validator