Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrinvcl Structured version   Unicode version

Theorem dchrinvcl 21037
 Description: Closure of the group inverse operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrn0.b
dchrn0.u Unit
dchr1cl.o
dchrmulid2.t
dchrmulid2.x
dchrinvcl.n
Assertion
Ref Expression
dchrinvcl
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrinvcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrinvcl.n . . 3
2 dchrmhm.g . . . 4 DChr
3 dchrmhm.z . . . 4 ℤ/n
4 dchrn0.b . . . 4
5 dchrn0.u . . . 4 Unit
6 dchrmulid2.x . . . . 5
7 dchrmhm.b . . . . . 6
82, 7dchrrcl 21024 . . . . 5
96, 8syl 16 . . . 4
10 fveq2 5728 . . . . 5
1110oveq2d 6097 . . . 4
12 fveq2 5728 . . . . 5
1312oveq2d 6097 . . . 4
14 fveq2 5728 . . . . 5
1514oveq2d 6097 . . . 4
16 fveq2 5728 . . . . 5
1716oveq2d 6097 . . . 4
182, 3, 7, 4, 6dchrf 21026 . . . . . 6
194, 5unitss 15765 . . . . . . 7
2019sseli 3344 . . . . . 6
21 ffvelrn 5868 . . . . . 6
2218, 20, 21syl2an 464 . . . . 5
23 simpr 448 . . . . . 6
246adantr 452 . . . . . . 7
2520adantl 453 . . . . . . 7
262, 3, 7, 4, 5, 24, 25dchrn0 21034 . . . . . 6
2723, 26mpbird 224 . . . . 5
2822, 27reccld 9783 . . . 4
29 1t1e1 10126 . . . . . . . 8
3029eqcomi 2440 . . . . . . 7
3130a1i 11 . . . . . 6
322, 3, 7dchrmhm 21025 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
336adantr 452 . . . . . . . 8
3432, 33sseldi 3346 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
35 simprl 733 . . . . . . . 8
3619, 35sseldi 3346 . . . . . . 7
37 simprr 734 . . . . . . . 8
3819, 37sseldi 3346 . . . . . . 7
39 eqid 2436 . . . . . . . . 9 mulGrp mulGrp
4039, 4mgpbas 15654 . . . . . . . 8 mulGrp
41 eqid 2436 . . . . . . . . 9
4239, 41mgpplusg 15652 . . . . . . . 8 mulGrp
43 eqid 2436 . . . . . . . . 9 mulGrpfld mulGrpfld
44 cnfldmul 16709 . . . . . . . . 9 fld
4543, 44mgpplusg 15652 . . . . . . . 8 mulGrpfld
4640, 42, 45mhmlin 14745 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
4734, 36, 38, 46syl3anc 1184 . . . . . 6
4831, 47oveq12d 6099 . . . . 5
49 ax-1cn 9048 . . . . . . 7
5049a1i 11 . . . . . 6
5118adantr 452 . . . . . . 7
5251, 36ffvelrnd 5871 . . . . . 6
5351, 38ffvelrnd 5871 . . . . . 6
542, 3, 7, 4, 5, 33, 36dchrn0 21034 . . . . . . 7
5535, 54mpbird 224 . . . . . 6
562, 3, 7, 4, 5, 33, 38dchrn0 21034 . . . . . . 7
5737, 56mpbird 224 . . . . . 6
5850, 52, 50, 53, 55, 57divmuldivd 9831 . . . . 5
5948, 58eqtr4d 2471 . . . 4
6032, 6sseldi 3346 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
61 eqid 2436 . . . . . . . . 9
6239, 61rngidval 15666 . . . . . . . 8 mulGrp
63 cnfld1 16726 . . . . . . . . 9 fld
6443, 63rngidval 15666 . . . . . . . 8 mulGrpfld
6562, 64mhm0 14746 . . . . . . 7 mulGrp MndHom mulGrpfld
6660, 65syl 16 . . . . . 6
6766oveq2d 6097 . . . . 5
6849div1i 9742 . . . . 5
6967, 68syl6eq 2484 . . . 4
702, 3, 4, 5, 9, 7, 11, 13, 15, 17, 28, 59, 69dchrelbasd 21023 . . 3
711, 70syl5eqel 2520 . 2
72 dchrmulid2.t . . . 4
732, 3, 7, 72, 71, 6dchrmul 21032 . . 3
74 fvex 5742 . . . . . . 7
754, 74eqeltri 2506 . . . . . 6
7675a1i 11 . . . . 5
77 ovex 6106 . . . . . . 7
78 c0ex 9085 . . . . . . 7
7977, 78ifex 3797 . . . . . 6
8079a1i 11 . . . . 5
8118ffvelrnda 5870 . . . . 5
821a1i 11 . . . . 5
8318feqmptd 5779 . . . . 5
8476, 80, 81, 82, 83offval2 6322 . . . 4
85 oveq1 6088 . . . . . . . 8
86 oveq1 6088 . . . . . . . 8
8785, 86ifsb 3748 . . . . . . 7
8881adantr 452 . . . . . . . . . 10
896adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
90 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
912, 3, 7, 4, 5, 89, 90dchrn0 21034 . . . . . . . . . . 11
9291biimpar 472 . . . . . . . . . 10
9388, 92recid2d 9786 . . . . . . . . 9
9493ifeq1da 3764 . . . . . . . 8
9581mul02d 9264 . . . . . . . . 9
9695ifeq2d 3754 . . . . . . . 8
9794, 96eqtrd 2468 . . . . . . 7
9887, 97syl5eq 2480 . . . . . 6
9998mpteq2dva 4295 . . . . 5
100 dchr1cl.o . . . . 5
10199, 100syl6reqr 2487 . . . 4
10284, 101eqtr4d 2471 . . 3
10373, 102eqtrd 2468 . 2
10471, 103jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956  cif 3739   cmpt 4266  wf 5450  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cc 8988  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   cdiv 9677  cn 10000  cbs 13469   cplusg 13529  cmulr 13530   MndHom cmhm 14736  mulGrpcmgp 15648  cur 15662  Unitcui 15744  ℂfldccnfld 16703  ℤ/nℤczn 16781  DChrcdchr 21016 This theorem is referenced by:  dchrabl  21038 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zn 16785  df-dchr 21017
 Copyright terms: Public domain W3C validator