MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum Unicode version

Theorem dchrisum 20641
Description: If  n  e.  [ M ,  +oo )  |->  A ( n ) is a positive decreasing function approaching zero, then the infinite sum  sum_ n ,  X
( n ) A ( n ) is convergent, with the partial sum  sum_ n  <_  x ,  X ( n ) A ( n ) within  O ( A ( M ) ) of the limit  T. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Distinct variable groups:    x, n, c, t,  .1.    F, c, n, t, x    A, c, t, x    N, c, n, t, x    ph, c, n, t, x    B, c, n    n, Z, x    D, c, n, t, x    L, c, n, t, x    M, c, n, x    X, c, n, t, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x, t)    G( x, t, n, c)    M( t)    Z( t, c)

Proof of Theorem dchrisum
Dummy variables  m  u  i  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzofi 11036 . . 3  |-  ( 0..^ N )  e.  Fin
2 fzofi 11036 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ u )  e.  Fin
32a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0..^ u )  e.  Fin )
4 rpvmasum.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 dchrisum.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
98adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  X  e.  D
)
10 elfzoelz 10875 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 0..^ u )  ->  m  e.  ZZ )
1110adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  m  e.  ZZ )
124, 5, 6, 7, 9, 11dchrzrhcl 20484 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ( 0..^ u ) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
133, 12fsumcl 12206 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  (
0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )
1413abscld 11918 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  RR )
1514ralrimivw 2627 . . 3  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
16 fimaxre3 9703 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ N )  e.  Fin  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
171, 15, 16sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
18 rpvmasum.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
1918adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  N  e.  NN )
20 rpvmasum.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
218adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  e.  D )
22 dchrisum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
2322adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  X  =/=  .1.  )
24 dchrisum.2 . . . . 5  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
25 dchrisum.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
2625adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  M  e.  NN )
27 dchrisum.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
2827adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
29 dchrisum.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
30293adant1r 1175 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r )
)  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
31 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
3231adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  (
n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
33 dchrisum.7 . . . . 5  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
34 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  r  e.  RR )
35 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
)
36 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  ( L `  m )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  ( X `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
3837cbvsumv 12169 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)
39 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  i  ->  (
0..^ u )  =  ( 0..^ i ) )
4039sumeq1d 12174 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  i  ->  sum_ n  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  n )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4138, 40syl5eq 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  i  ->  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m )
)  =  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )
4241fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  i  ->  ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  =  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `
 n ) ) ) )
4342breq1d 4033 . . . . . . 7  |-  ( u  =  i  ->  (
( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n )
) )  <_  r
) )
4443cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
4535, 44sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ n  e.  ( 0..^ i ) ( X `  ( L `  n ) ) )  <_  r
)
465, 7, 19, 4, 6, 20, 21, 23, 24, 26, 28, 30, 32, 33, 34, 45dchrisumlem3 20640 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( r  e.  RR  /\  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r
) )  ->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
4746expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `
 m ) ) )  <_  r  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
4847rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  RR  A. u  e.  ( 0..^ N ) ( abs `  sum_ m  e.  ( 0..^ u ) ( X `  ( L `  m ) ) )  <_  r  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) ) )
4917, 48mpd 14 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( M [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   [,)cico 10658  ..^cfzo 10870   |_cfl 10924    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958    ~~> r crli 11959   sum_csu 12158   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrmusumlema  20642  dchrvmasumlema  20649  dchrisum0lema  20663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator