MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Unicode version

Theorem dchrisum0ff 20672
Description: The function  F is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Distinct variable groups:    q, b,
v    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
2 sgmss 20360 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
32adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
4 ssfi 7099 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { q  e.  NN  | 
q  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
51, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
6 dchrisum0flb.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
76ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  X :
( Base `  Z ) --> RR )
8 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
98nnnn0d 10034 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
11 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
12 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1310, 11, 12znzrhfo 16517 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
14 fof 5467 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159, 13, 143syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
17 ssrab2 3271 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  NN
1817sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  NN )
1918nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  ZZ )
20 ffvelrn 5679 . . . . 5  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
2116, 19, 20syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
22 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> RR  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  RR )
237, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  RR )
245, 23fsumrecl 12223 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)  e.  RR )
25 dchrisum0f.f . . 3  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
26 breq2 4043 . . . . . . 7  |-  ( b  =  n  ->  (
q  ||  b  <->  q  ||  n ) )
2726rabbidv 2793 . . . . . 6  |-  ( b  =  n  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)
2827sumeq1d 12190 . . . . 5  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
) )
29 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( v  =  m  ->  ( L `  v )  =  ( L `  m ) )
3029fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( v  =  m  ->  ( X `  ( L `  v ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
3130cbvsumv 12185 . . . . 5  |-  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)
3228, 31syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
) )
3332cbvmptv 4127 . . 3  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3425, 33eqtri 2316 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3524, 34fmptd 5700 1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   RRcr 8752   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ...cfz 10798   sum_csu 12174    || cdivides 12547   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  20674  dchrisum0fno1  20676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474
  Copyright terms: Public domain W3C validator