MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Unicode version

Theorem dchrisum0ff 20656
Description: The function  F is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Distinct variable groups:    q, b,
v    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
2 sgmss 20344 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
32adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
4 ssfi 7083 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { q  e.  NN  | 
q  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
51, 3, 4syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
6 dchrisum0flb.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
76ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  X :
( Base `  Z ) --> RR )
8 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
98nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
11 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
12 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1310, 11, 12znzrhfo 16501 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
14 fof 5451 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159, 13, 143syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
1615adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
17 ssrab2 3258 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  NN
1817sseli 3176 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  NN )
1918nnzd 10116 . . . . 5  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  ZZ )
20 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
2116, 19, 20syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
22 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> RR  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  RR )
237, 21, 22syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  RR )
245, 23fsumrecl 12207 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)  e.  RR )
25 dchrisum0f.f . . 3  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
26 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( b  =  n  ->  (
q  ||  b  <->  q  ||  n ) )
2726rabbidv 2780 . . . . . 6  |-  ( b  =  n  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)
2827sumeq1d 12174 . . . . 5  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
) )
29 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( v  =  m  ->  ( L `  v )  =  ( L `  m ) )
3029fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( v  =  m  ->  ( X `  ( L `  v ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
3130cbvsumv 12169 . . . . 5  |-  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)
3228, 31syl6eq 2331 . . . 4  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
) )
3332cbvmptv 4111 . . 3  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3425, 33eqtri 2303 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3524, 34fmptd 5684 1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   RRcr 8736   1c1 8738   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ...cfz 10782   sum_csu 12158    || cdivides 12531   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  20658  dchrisum0fno1  20660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458
  Copyright terms: Public domain W3C validator