MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0ff Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0ff 21201
Description: The function  F is a real function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0flb.r  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0ff  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Distinct variable groups:    q, b,
v    N, q    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0ff
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n )  e. 
Fin )
2 sgmss 20889 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
32adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  C_  ( 1 ... n
) )
4 ssfi 7329 . . . 4  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  { q  e.  NN  | 
q  ||  n }  C_  ( 1 ... n
) )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
51, 3, 4syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  e.  Fin )
6 dchrisum0flb.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
76ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  X :
( Base `  Z ) --> RR )
8 rpvmasum.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
98nnnn0d 10274 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
10 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
11 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
12 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1310, 11, 12znzrhfo 16828 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
14 fof 5653 . . . . . . 7  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
159, 13, 143syl 19 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
1615adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
17 elrabi 3090 . . . . . 6  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  NN )
1817nnzd 10374 . . . . 5  |-  ( m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }  ->  m  e.  ZZ )
19 ffvelrn 5868 . . . . 5  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
2016, 18, 19syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
217, 20ffvelrnd 5871 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  RR )
225, 21fsumrecl 12528 . 2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)  e.  RR )
23 dchrisum0f.f . . 3  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
24 breq2 4216 . . . . . . 7  |-  ( b  =  n  ->  (
q  ||  b  <->  q  ||  n ) )
2524rabbidv 2948 . . . . . 6  |-  ( b  =  n  ->  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  n }
)
2625sumeq1d 12495 . . . . 5  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
) )
27 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( v  =  m  ->  ( L `  v )  =  ( L `  m ) )
2827fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( v  =  m  ->  ( X `  ( L `  v ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
2928cbvsumv 12490 . . . . 5  |-  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
)
3026, 29syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( b  =  n  ->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
)  =  sum_ m  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  n } 
( X `  ( L `  m )
) )
3130cbvmptv 4300 . . 3  |-  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  b }  ( X `  ( L `  v )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3223, 31eqtri 2456 . 2  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  sum_
m  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  n }  ( X `  ( L `  m ) ) )
3322, 32fmptd 5893 1  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   RRcr 8989   1c1 8991   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ...cfz 11043   sum_csu 12479    || cdivides 12852   Basecbs 13469   0gc0g 13723   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  21203  dchrisum0fno1  21205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785
  Copyright terms: Public domain W3C validator