MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fmul Unicode version

Theorem dchrisum0fmul 20671
Description: The function  F, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum0f.f  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
dchrisum0f.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum0fmul.a  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
dchrisum0fmul.b  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
dchrisum0fmul.m  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fmul  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B ) ) )
Distinct variable groups:    q, b,
v, A    N, q    B, b, q, v    L, b, v    X, b, v
Allowed substitution hints:    ph( v, q, b)    D( v, q, b)    .1. ( v, q, b)    F( v, q, b)    G( v, q, b)    L( q)    N( v, b)    X( q)    Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0fmul
Dummy variables  k 
i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum0fmul.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 dchrisum0fmul.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 dchrisum0fmul.m . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  gcd  B
)  =  1 )
4 eqid 2296 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  A }
5 eqid 2296 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  B }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  B }
6 eqid 2296 . . 3  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  ( A  x.  B ) }  =  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B ) }
7 rpvmasum2.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
8 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
9 rpvmasum2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
10 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
11 dchrisum0f.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1211adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  X  e.  D )
13 ssrab2 3271 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  C_  NN
1413sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ->  j  e.  NN )
1514nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ->  j  e.  ZZ )
1615adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  j  e.  ZZ )
177, 8, 9, 10, 12, 16dchrzrhcl 20500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  A }
)  ->  ( X `  ( L `  j
) )  e.  CC )
1811adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  X  e.  D )
19 ssrab2 3271 . . . . . . 7  |-  { q  e.  NN  |  q 
||  B }  C_  NN
2019sseli 3189 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ->  k  e.  NN )
2120nnzd 10132 . . . . 5  |-  ( k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ->  k  e.  ZZ )
2221adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  k  e.  ZZ )
237, 8, 9, 10, 18, 22dchrzrhcl 20500 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { q  e.  NN  | 
q  ||  B }
)  ->  ( X `  ( L `  k
) )  e.  CC )
2415, 21anim12i 549 . . . 4  |-  ( ( j  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  A }  /\  k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } )  ->  (
j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )
)
2511adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  ->  X  e.  D )
26 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
j  e.  ZZ )
27 simprr 733 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
k  e.  ZZ )
287, 8, 9, 10, 25, 26, 27dchrzrhmul 20501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  j ) )  x.  ( X `  ( L `  k )
) ) )
2928eqcomd 2301 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ ) )  -> 
( ( X `  ( L `  j ) )  x.  ( X `
 ( L `  k ) ) )  =  ( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) ) )
3024, 29sylan2 460 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  /\  k  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  B } ) )  ->  ( ( X `  ( L `  j ) )  x.  ( X `  ( L `  k )
) )  =  ( X `  ( L `
 ( j  x.  k ) ) ) )
31 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  ( L `  i )  =  ( L `  ( j  x.  k
) ) )
3231fveq2d 5545 . . 3  |-  ( i  =  ( j  x.  k )  ->  ( X `  ( L `  i ) )  =  ( X `  ( L `  ( j  x.  k ) ) ) )
331, 2, 3, 4, 5, 6, 17, 23, 30, 32fsumdvdsmul 20451 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ j  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
)  x.  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )  =  sum_ i  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B
) }  ( X `
 ( L `  i ) ) )
34 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
35 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
36 dchrisum0f.f . . . . 5  |-  F  =  ( b  e.  NN  |->  sum_ v  e.  { q  e.  NN  |  q 
||  b }  ( X `  ( L `  v ) ) )
378, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20670 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( F `  A )  =  sum_ j  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
) )
381, 37syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  =  sum_ j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A } 
( X `  ( L `  j )
) )
398, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20670 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )
402, 39syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  =  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B } 
( X `  ( L `  k )
) )
4138, 40oveq12d 5892 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B )
)  =  ( sum_ j  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  A }  ( X `  ( L `  j
) )  x.  sum_ k  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  B }  ( X `  ( L `  k
) ) ) )
421, 2nnmulcld 9809 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  NN )
438, 10, 34, 7, 9, 35, 36dchrisum0fval 20670 . . 3  |-  ( ( A  x.  B )  e.  NN  ->  ( F `  ( A  x.  B ) )  = 
sum_ i  e.  {
q  e.  NN  | 
q  ||  ( A  x.  B ) }  ( X `  ( L `  i ) ) )
4442, 43syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  sum_ i  e.  { q  e.  NN  |  q  ||  ( A  x.  B ) }  ( X `  ( L `  i )
) )
4533, 41, 443eqtr4rd 2339 1  |-  ( ph  ->  ( F `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( F `  A )  x.  ( F `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    x. cmul 8758   NNcn 9762   ZZcz 10040   sum_csu 12174    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  20674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator