Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0fno1 Structured version   Unicode version

Theorem dchrisum0fno1 21207
 Description: The sum is divergent (i.e. not eventually bounded). Equation 9.4.30 of [Shapiro], p. 383. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
dchrisum0f.f
dchrisum0f.x
dchrisum0flb.r
dchrisum0fno1.a
Assertion
Ref Expression
dchrisum0fno1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,,)   ()   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisum0fno1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logno1 20529 . 2
2 relogcl 20475 . . . . . . 7
32adantl 454 . . . . . 6
43recnd 9116 . . . . 5
5 2cn 10072 . . . . . 6
65a1i 11 . . . . 5
7 2ne0 10085 . . . . . 6
87a1i 11 . . . . 5
94, 6, 8divcan2d 9794 . . . 4
109mpteq2dva 4297 . . 3
113rehalfcld 10216 . . . . 5
1211recnd 9116 . . . 4
13 rpssre 10624 . . . . . 6
14 o1const 12415 . . . . . 6
1513, 5, 14mp2an 655 . . . . 5
1615a1i 11 . . . 4
17 1re 9092 . . . . . 6
1817a1i 11 . . . . 5
19 dchrisum0fno1.a . . . . 5
20 sumex 12483 . . . . . 6
2120a1i 11 . . . . 5
2211adantrr 699 . . . . . . 7
232ad2antrl 710 . . . . . . . 8
24 log1 20482 . . . . . . . . 9
25 simprr 735 . . . . . . . . . 10
26 1rp 10618 . . . . . . . . . . 11
27 simprl 734 . . . . . . . . . . 11
28 logleb 20500 . . . . . . . . . . 11
2926, 27, 28sylancr 646 . . . . . . . . . 10
3025, 29mpbid 203 . . . . . . . . 9
3124, 30syl5eqbrr 4248 . . . . . . . 8
32 2re 10071 . . . . . . . . 9
3332a1i 11 . . . . . . . 8
34 2pos 10084 . . . . . . . . 9
3534a1i 11 . . . . . . . 8
36 divge0 9881 . . . . . . . 8
3723, 31, 33, 35, 36syl22anc 1186 . . . . . . 7
3822, 37absidd 12227 . . . . . 6
39 fzfid 11314 . . . . . . . 8
40 rpvmasum.z . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
41 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . 12 RHom
42 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12
43 rpvmasum2.g . . . . . . . . . . . 12 DChr
44 rpvmasum2.d . . . . . . . . . . . 12
45 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . 12
46 dchrisum0f.f . . . . . . . . . . . 12
47 dchrisum0f.x . . . . . . . . . . . 12
48 dchrisum0flb.r . . . . . . . . . . . 12
4940, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48dchrisum0ff 21203 . . . . . . . . . . 11
5049adantr 453 . . . . . . . . . 10
51 elfznn 11082 . . . . . . . . . 10
52 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . 10
5350, 51, 52syl2an 465 . . . . . . . . 9
5451adantl 454 . . . . . . . . . . 11
5554nnrpd 10649 . . . . . . . . . 10
5655rpsqrcld 12216 . . . . . . . . 9
5753, 56rerpdivcld 10677 . . . . . . . 8
5839, 57fsumrecl 12530 . . . . . . 7
5958recnd 9116 . . . . . . . 8
6059abscld 12240 . . . . . . 7
61 fzfid 11314 . . . . . . . . 9
62 elfznn 11082 . . . . . . . . . . 11
6362adantl 454 . . . . . . . . . 10
6463nnrecred 10047 . . . . . . . . 9
6561, 64fsumrecl 12530 . . . . . . . 8
66 logsqr 20597 . . . . . . . . . 10
6766ad2antrl 710 . . . . . . . . 9
68 rpsqrcl 12072 . . . . . . . . . . 11
6968ad2antrl 710 . . . . . . . . . 10
70 harmoniclbnd 20849 . . . . . . . . . 10
7169, 70syl 16 . . . . . . . . 9
7267, 71eqbrtrrd 4236 . . . . . . . 8
73 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7573, 74elrnmpti 5123 . . . . . . . . . . . . . . . 16
76 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7776adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7877nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7978rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
80 sqrsq 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281, 77eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
83 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8582, 84syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685rexlimdva 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8775, 86syl5bi 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14
89 iftrue 3747 . . . . . . . . . . . . . 14
9088, 89syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
9190oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12
9291sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . 11
93 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . . 13
9493oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12
9577nnsqcld 11545 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9669rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
97 fznnfl 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9998simplbda 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10069adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101100rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102 le2sq 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10379, 101, 102syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10499, 103mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10527rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
106105adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
107106recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
108107sqsqrd 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
109104, 108breqtrd 4238 . . . . . . . . . . . . . . . 16
110 fznnfl 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111106, 110syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11295, 109, 111mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112ex 425 . . . . . . . . . . . . . 14
11476nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115114rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11662nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117116rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118 sq11 11456 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119115, 117, 118syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
120119a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
121113, 120dom2lem 7149 . . . . . . . . . . . . 13
122 f1f1orn 5687 . . . . . . . . . . . . 13
123121, 122syl 16 . . . . . . . . . . . 12
124 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . 14
125124, 73, 74fvmpt3i 5811 . . . . . . . . . . . . 13
126125adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
127 f1f 5641 . . . . . . . . . . . . . . . 16
128 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129121, 127, 1283syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15
130129sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . 14
131 0re 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13217, 131keepel 3798 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133 rerpdivcl 10641 . . . . . . . . . . . . . . . 16
134132, 56, 133sylancr 646 . . . . . . . . . . . . . . 15
135134recnd 9116 . . . . . . . . . . . . . 14
136130, 135syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13
13791, 136eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12
13894, 61, 123, 126, 137fsumf1o 12519 . . . . . . . . . . 11
13992, 138eqtrd 2470 . . . . . . . . . 10
140 eldif 3332 . . . . . . . . . . . . . . 15
14151ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
142141nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
143142sqsqrd 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145 fznnfl 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
146105, 145syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
147146simplbda 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148147adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149141nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
150149rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15127adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
152151rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
153 sqrle 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
154150, 152, 153syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
155148, 154mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15669adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
157156rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158 fznnfl 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
159157, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
160144, 155, 159mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
161143, 141eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
162 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16373, 162elrnmpt1s 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
164160, 161, 163syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
165143, 164eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
166165expr 600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
167166con3d 128 . . . . . . . . . . . . . . . 16
168167impr 604 . . . . . . . . . . . . . . 15
169140, 168sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . 14
170 iffalse 3748 . . . . . . . . . . . . . 14
171169, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
172171oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . 12
173 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . 15
174173, 56sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14
175174rpcnne0d 10659 . . . . . . . . . . . . 13
176 div0 9708 . . . . . . . . . . . . 13
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . 12
178172, 177eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11
179129, 136, 178, 39fsumss 12521 . . . . . . . . . 10
18063nnrpd 10649 . . . . . . . . . . . . . 14
181180rprege0d 10657 . . . . . . . . . . . . 13
182 sqrsq 12077 . . . . . . . . . . . . 13
183181, 182syl 16 . . . . . . . . . . . 12
184183oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
185184sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . 10
186139, 179, 1853eqtr3d 2478 . . . . . . . . 9
187132a1i 11 . . . . . . . . . . 11
18842ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
18947ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
19048ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12
19140, 41, 188, 43, 44, 45, 46, 189, 190, 54dchrisum0flb 21206 . . . . . . . . . . 11
192187, 53, 56, 191lediv1dd 10704 . . . . . . . . . 10
19339, 134, 57, 192fsumle 12580 . . . . . . . . 9
194186, 193eqbrtrrd 4236 . . . . . . . 8
19522, 65, 58, 72, 194letrd 9229 . . . . . . 7
19658leabsd 12219 . . . . . . 7
19722, 58, 60, 195, 196letrd 9229 . . . . . 6
19838, 197eqbrtrd 4234 . . . . 5
19918, 19, 21, 12, 198o1le 12448 . . . 4
2006, 12, 16, 199o1mul2 12420 . . 3
20110, 200eqeltrrd 2513 . 2
2021, 201mto 170 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cdif 3319   wss 3322  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268   crn 4881  wf 5452  wf1 5453  wf1o 5455  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  crp 10614  cfz 11045  cfl 11203  cexp 11384  csqr 12040  cabs 12041  co1 12282  csu 12481   cdivides 12854  cbs 13471  c0g 13725  RHomczrh 16780  ℤ/nℤczn 16783  clog 20454  DChrcdchr 21018 This theorem is referenced by:  dchrisum0  21216 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-fal 1330  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-o1 12286  df-lo1 12287  df-sum 12482  df-ef 12672  df-e 12673  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-numer 13129  df-denom 13130  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-divs 13737  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-od 15169  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-dvr 15790  df-rnghom 15821  df-drng 15839  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-zrh 16784  df-zn 16787  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-cxp 20457  df-em 20833  df-dchr 21019
 Copyright terms: Public domain W3C validator