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Theorem dchrisum0lem1 21210
Description: Lemma for dchrisum0 21214. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1
StepHypRef Expression
1 fzfid 11312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 fzfid 11312 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
3 fzfid 11312 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
4 elfznn 11080 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
5 elfzuz 11055 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
64, 5anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
8 elfzuz 11055 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
9 elfznn 11080 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
108, 9anim12ci 551 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )  ->  ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) ) )
12 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  m  e.  ZZ )
1312ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1413zred 10375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR )
15 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
16 2z 10312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
17 rpexpcl 11400 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
1918rpred 10648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
2019adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR )
21 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
2221nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
2314, 20, 22lemuldivd 10693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) )
2421nnred 10015 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
2515rprege0d 10655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
26 flge0nn0 11225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
27 nn0p1nn 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2825, 26, 273syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  NN )
30 simprr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
31 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
3231uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  ->  m  e.  NN )
3329, 30, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3433nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3524, 20, 34lemuldiv2d 10694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  x.  d )  <_ 
( x ^ 2 )  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
3623, 35bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  d  <_  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
37 rpcn 10620 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
3837adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
3938sqvald 11520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x
) )
4039adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  =  ( x  x.  x ) )
41 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
4241rpred 10648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
43 reflcl 11205 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
44 peano2re 9239 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
4542, 43, 443syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  RR )
46 fllep1 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
4742, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
48 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  <_  m
)
4948ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  <_  m
)
5042, 45, 14, 47, 49letrd 9227 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  x  <_  m
)
5142, 14, 41lemul1d 10687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  <_  m 
<->  ( x  x.  x
)  <_  ( m  x.  x ) ) )
5250, 51mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x  x.  x )  <_  (
m  x.  x ) )
5340, 52eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  <_  (
m  x.  x ) )
5420, 42, 34ledivmuld 10697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x 
<->  ( x ^ 2 )  <_  ( m  x.  x ) ) )
5553, 54mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  <_  x
)
56 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
5756ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  d  e.  RR )
5820, 33nndivred 10048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR )
59 letr 9167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( d  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  /\  ( (
x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  ->  d  <_  x ) )
6057, 58, 42, 59syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  ( ( x ^ 2 )  /  m )  /\  (
( x ^ 2 )  /  m )  <_  x )  -> 
d  <_  x )
)
6155, 60mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  d  <_  x ) )
6236, 61sylbid 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  d  <_  x ) )
6362pm4.71rd 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
64 nnge1 10026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
6564ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  1  <_  d
)
66 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
67 0lt1 9550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
6866, 67pm3.2i 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )
7022rpregt0d 10654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d ) )
7118adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  RR+ )
7271rpregt0d 10654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( x ^ 2 ) ) )
73 lediv2 9900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  < 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( x ^
2 ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7469, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( 1  <_ 
d  <->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) ) )
7565, 74mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
( x ^ 2 )  /  1 ) )
7620recnd 9114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( x ^
2 )  e.  CC )
7776div1d 9782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
1 )  =  ( x ^ 2 ) )
7875, 77breqtrd 4236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  <_  (
x ^ 2 ) )
79 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
d  e.  NN )
80 nndivre 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR )
8119, 79, 80syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  e.  RR )
82 letr 9167 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  RR  /\  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8314, 81, 20, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  <_  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  /\  (
( x ^ 2 )  /  d )  <_  ( x ^
2 ) )  ->  m  <_  ( x ^
2 ) ) )
8478, 83mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8536, 84sylbird 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  ->  m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
8685pm4.71rd 617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
)  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
8736, 63, 863bitr3d 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  <_  x  /\  m  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  <->  ( m  <_  ( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
88 fznnfl 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
8988baibd 876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
9042, 21, 89syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
d  <_  x )
)
9181flcld 11207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  ZZ )
92 elfz5 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9330, 91, 92syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
94 flge 11214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
9581, 13, 94syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  m  <_  ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
9693, 95bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  <-> 
m  <_  ( (
x ^ 2 )  /  d ) ) )
9790, 96anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( d  <_  x  /\  m  <_  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
9820flcld 11207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( x ^ 2 ) )  e.  ZZ )
99 elfz5 11051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ZZ )  ->  (
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  <->  m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
10030, 98, 99syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
101 flge 11214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  <_  (
x ^ 2 )  <-> 
m  <_  ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )
10220, 13, 101syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  <->  m  <_  ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )
103100, 102bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  <-> 
m  <_  ( x ^ 2 ) ) )
104 fznnfl 11243 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
105104baibd 876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  /  m
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
10658, 21, 105syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  <-> 
d  <_  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )
107103, 106anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  <->  ( m  <_ 
( x ^ 2 )  /\  d  <_ 
( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
10887, 97, 1073bitr4d 277 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  /\  m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
109108ex 424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  NN  /\  m  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  -> 
( ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  <->  ( m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) ) )
1107, 11, 109pm5.21ndd 344 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )  <-> 
( m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
111 ssun2 3511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
11228adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
113112, 31syl6eleq 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
114 dchrisum0lem1a 21180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  /\  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) ) )
115114simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
116 fzsplit2 11076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
117113, 115, 116syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
118111, 117syl5sseqr 3397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
119118sselda 3348 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
120 rpvmasum2.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
121 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
122 rpvmasum2.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
123 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
124 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . . . 13  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
125 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
126124, 125eqsstri 3378 . . . . . . . . . . . 12  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
127 dchrisum0.b . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
128126, 127sseldi 3346 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
129128eldifad 3332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
130129ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
131 elfzelz 11059 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
132131adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
133120, 121, 122, 123, 130, 132dchrzrhcl 21029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
134 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
135134adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
136135nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
137136rpsqrcld 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
138137rpcnd 10650 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
139137rpne0d 10653 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
140133, 138, 139divcld 9790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
1414adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
142141nnrpd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
143142rpsqrcld 12214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
144143rpcnne0d 10657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
145144adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
146145simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
147145simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
148140, 146, 147divcld 9790 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
149119, 148syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
150149anasss 629 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  /\  m  e.  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
1511, 2, 3, 110, 150fsumcom2 12558 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
152151mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
15366a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
154 2cn 10070 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
15515rpsqrcld 12214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
156155rpcnd 10650 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
157 mulcl 9074 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  e.  CC )
158154, 156, 157sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
159143rprecred 10659 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  RR )
1601, 159fsumrecl 12528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  RR )
161160recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
162161, 158subcld 9411 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
163 2re 10069 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
164 dchrisum0.c . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
165 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
166164, 165sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
167166simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
168 remulcl 9075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
169163, 167, 168sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
170169adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  RR )
171170, 155rerpdivcld 10675 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
172171recnd 9114 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
173158, 162, 172adddird 9113 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( ( ( 2  x.  ( sqr `  x
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
174158, 161pncan3d 9414 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
175174oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  +  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
176154a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
177176, 156, 172mulassd 9111 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
178170recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  CC )
179155rpne0d 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0
)
180178, 156, 179divcan2d 9792 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  C ) )
181180oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( ( sqr `  x )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
182177, 181eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) ) )
183182oveq1d 6096 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( 2  x.  ( sqr `  x ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  +  ( (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
184173, 175, 1833eqtr3d 2476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) ) ) )
185184mpteq2dva 4295 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
186 remulcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( 2  x.  C
)  e.  RR )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  e.  RR )
187163, 169, 186sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  RR )
188187recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) )  e.  CC )
189188adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )
190162, 172mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  e.  CC )
191 rpssre 10622 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
192 o1const 12413 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  ( 2  x.  C ) )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O
( 1 ) )
193191, 188, 192sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
2  x.  C ) ) )  e.  O
( 1 ) )
194 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )
195194divsqrsum 20820 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
196 rlimdmo1 12411 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  dom  ~~> r  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
197195, 196mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
198178, 156, 179divrecd 9793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( ( 2  x.  C
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) ) )
199198mpteq2dva 4295 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  ( 1  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
200155rprecred 10659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
201169recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  CC )
202 rlimconst 12338 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  (
2  x.  C )  e.  CC )  -> 
( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
203191, 201, 202sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  C
) )  ~~> r  ( 2  x.  C ) )
204 sqrlim 20811 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  0
205204a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  0 )
206170, 200, 203, 205rlimmul 12438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
207199, 206eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C )  x.  0 ) )
208 rlimo1 12410 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) ) )  ~~> r  ( ( 2  x.  C
)  x.  0 )  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )  e.  O ( 1 ) )
209207, 208syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
210162, 172, 197, 209o1mul2 12418 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
211189, 190, 193, 210o1add2 12417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( 2  x.  ( 2  x.  C
) )  +  ( ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  x
) ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
212185, 211eqeltrd 2510 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
213160, 171remulcld 9116 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
2143, 149fsumcl 12527 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
2151, 214fsumcl 12527 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
216215abscld 12238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
217213recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  CC )
218217abscld 12238 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )  e.  RR )
219214abscld 12238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  RR )
2201, 219fsumrecl 12528 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  RR )
2211, 214fsumabs 12580 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
222171adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
223159, 222remulcld 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  e.  RR )
224119, 140syldan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
2253, 224fsumcl 12527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
226225abscld 12238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
227 rpvmasum.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
228 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . 11  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
229 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
230 dchrisum0.s . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
231 dchrisum0.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
232121, 123, 227, 120, 122, 228, 124, 127, 229, 164, 230, 231dchrisum0lem1b 21209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
233226, 222, 143, 232lediv1dd 10702 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  <_  (
( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
234143rpcnd 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
235143rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
236225, 234, 235absdivd 12257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) )  / 
( abs `  ( sqr `  d ) ) ) )
2373, 234, 224, 235fsumdivc 12569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
238237fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) ) )
239143rprege0d 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  d
) ) )
240 absid 12101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  d
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
241239, 240syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  d
) )  =  ( sqr `  d ) )
242241oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  d ) ) )  =  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) ) )
243236, 238, 2423eqtr3rd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  /  ( sqr `  d
) )  =  ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
244172adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
245244, 234, 235divrec2d 9794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
246233, 243, 2453brtr3d 4241 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( (
1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
2471, 219, 223, 246fsumle 12578 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
248159recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
2491, 172, 248fsummulc1 12568 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 1  / 
( sqr `  d
) )  x.  (
( 2  x.  C
)  /  ( sqr `  x ) ) ) )
250247, 249breqtrrd 4238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) )
251216, 220, 213, 221, 250letrd 9227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) )
252213leabsd 12217 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
253216, 213, 218, 251, 252letrd 9227 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) ) ) )
254253adantrr 698 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  <_ 
( abs `  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  x.  ( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
255153, 212, 213, 215, 254o1le 12446 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
256152, 255eqeltrrd 2511 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   {crab 2709    \ cdif 3317    u. cun 3318    C_ wss 3320   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   [,)cico 10918   ...cfz 11043   |_cfl 11201    seq cseq 11323   ^cexp 11382   sqrcsqr 12038   abscabs 12039    ~~> cli 12278    ~~> r crli 12279   O (
1 )co1 12280   sum_csu 12479   Basecbs 13469   0gc0g 13723   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  21213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-lo1 12285  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-cmp 17450  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-dchr 21017
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