MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem1b Unicode version

Theorem dchrisum0lem1b 20717
Description: Lemma for dchrisum0lem1 20718. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem1b  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem1b
StepHypRef Expression
1 fzfid 11082 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
2 ssun2 3373 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
3 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
43rprege0d 10444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
5 flge0nn0 10995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN0 )
7 nn0p1nn 10050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
86, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
98adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
10 nnuz 10310 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
119, 10syl6eleq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
12 dchrisum0lem1a 20688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  /\  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) ) )
1312simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
14 fzsplit2 10862 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
1511, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
162, 15syl5sseqr 3261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
1716sselda 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
18 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
19 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
20 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
21 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
22 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
23 ssrab2 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
2422, 23eqsstri 3242 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
25 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
2624, 25sseldi 3212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
27 eldifi 3332 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  e.  D )
2826, 27syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2928ad3antrrr 710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
30 elfzelz 10845 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
3130adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
3218, 19, 20, 21, 29, 31dchrzrhcl 20537 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
33 elfznn 10866 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
3433adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
3534nnrpd 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
3635rpsqrcld 11941 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
3736rpcnd 10439 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
3836rpne0d 10442 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
3932, 37, 38divcld 9581 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
4017, 39syldan 456 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
411, 40fsumcl 12253 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
4241abscld 11965 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
43 1z 10100 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
4443a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
4528adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
46 nnz 10092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
4746adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
4818, 19, 20, 21, 45, 47dchrzrhcl 20537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
49 nnrp 10410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
5049adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
5150rpsqrcld 11941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
5251rpcnd 10439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
5351rpne0d 10442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
5448, 52, 53divcld 9581 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
55 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
56 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5756fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
58 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
5957, 58oveq12d 5918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
6059cbvmptv 4148 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
6155, 60eqtri 2336 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
6254, 61fmptd 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
63 ffvelrn 5701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
6462, 63sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
6510, 44, 64serf 11121 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
6665ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  F
) : NN --> CC )
673rpregt0d 10443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
6867adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
6968simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR )
70 1re 8882 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
7170a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
72 elfznn 10866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  d  e.  NN )
7372adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  NN )
7473nnred 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR )
7573nnge1d 9833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  d )
763rpred 10437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
77 fznnfl 11013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  x ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  x )
) )
7978simplbda 607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  <_  x )
8071, 74, 69, 75, 79letrd 9018 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  x )
81 flge1nn 10996 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
8269, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
8310uztrn2 10292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  NN  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  d ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  NN )
8482, 13, 83syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  NN )
85 ffvelrn 5701 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  e.  CC )
8666, 84, 85syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  e.  CC )
87 dchrisum0.s . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
88 climcl 12020 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S  ->  S  e.  CC )
8987, 88syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
9089ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  S  e.  CC )
9186, 90subcld 9202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S )  e.  CC )
9291abscld 11965 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  e.  RR )
93 ffvelrn 5701 . . . . . 6  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  ( |_ `  x )  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  e.  CC )
9466, 82, 93syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  e.  CC )
9590, 94subcld 9202 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( S  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )  e.  CC )
9695abscld 11965 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  e.  RR )
9792, 96readdcld 8907 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  e.  RR )
98 2re 9860 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
99 dchrisum0.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
100 elrege0 10793 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
10199, 100sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)
102101simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
103 remulcl 8867 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
10498, 102, 103sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  C
)  e.  RR )
105104adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  C )  e.  RR )
1063rpsqrcld 11941 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
107105, 106rerpdivcld 10464 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
108107adantr 451 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
109 ssun1 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  u.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
110109, 15syl5sseqr 3261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
111110sselda 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
112 ovex 5925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
11359, 55, 112fvmpt3i 5643 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
11434, 113syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
115111, 114syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
11682, 10syl6eleq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
117111, 39syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
118115, 116, 117fsumser 12250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
119118, 94eqeltrd 2390 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
120119, 41pncan2d 9204 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  + 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
121 reflcl 10975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
12269, 121syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
123122ltp1d 9732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  x )  <  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
124 fzdisj 10864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  x )  <  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )  =  (/) )
125123, 124syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )  =  (/) )
126 fzfid 11082 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  e. 
Fin )
127125, 15, 126, 39fsumsplit 12259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  + 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
12884, 10syl6eleq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
129114, 128, 39fsumser 12250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
130127, 129eqtr3d 2350 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
131130, 118oveq12d 5918 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  + 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
132120, 131eqtr3d 2350 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
133132fveq2d 5567 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )
13486, 94, 90abs3difd 11989 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) ) )
135133, 134eqbrtrd 4080 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) ) )
136102ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  RR )
137 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
138137rpsqrcld 11941 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
139136, 138rerpdivcld 10464 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  x
) )  e.  RR )
140 2z 10101 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  ZZ
141 rpexpcl 11169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
1423, 140, 141sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
143142adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
14473nnrpd 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
145143, 144rpdivcld 10454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  d )  e.  RR+ )
146145rpsqrcld 11941 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) )  e.  RR+ )
147136, 146rerpdivcld 10464 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  e.  RR )
148142rpred 10437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR )
149 nndivre 9826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  RR )
150148, 72, 149syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  d )  e.  RR )
15112simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) )
15271, 69, 150, 80, 151letrd 9018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  <_  ( ( x ^ 2 )  /  d ) )
153 elicopnf 10786 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
( ( x ^
2 )  /  d
)  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( (
( x ^ 2 )  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
15470, 153ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  d )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( (
( x ^ 2 )  /  d )  e.  RR  /\  1  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )
155150, 152, 154sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  d )  e.  ( 1 [,)  +oo ) )
156 dchrisum0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
157156ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
158 fveq2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )
159158fveq2d 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
160159oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )
161160fveq2d 5567 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) ) )
162 fveq2 5563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )
163162oveq2d 5916 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  ( C  /  ( sqr `  y
) )  =  ( C  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
164161, 163breq12d 4073 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  / 
d )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) )  <-> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ) )
165164rspcv 2914 . . . . . 6  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  d )  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  <_  ( C  / 
( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) ) )
166155, 157, 165sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) )
167138rpregt0d 10443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  RR  /\  0  < 
( sqr `  x
) ) )
168146rpregt0d 10443 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) )  e.  RR  /\  0  < 
( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) ) )
169101ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
170137rprege0d 10444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
171145rprege0d 10444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x ^ 2 )  /  d )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )
172 sqrle 11793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  /\  ( ( ( x ^ 2 )  / 
d )  e.  RR  /\  0  <_  ( (
x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
173170, 171, 172syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  <_  ( ( x ^
2 )  /  d
)  <->  ( sqr `  x
)  <_  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) ) )
174151, 173mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )
175 lediv2a 9695 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( sqr `  x )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  x ) )  /\  ( ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) )  e.  RR  /\  0  <  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )  /\  ( sqr `  x )  <_  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  x
) ) )
176167, 168, 169, 174, 175syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  d ) ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  x
) ) )
17792, 147, 139, 166, 176letrd 9018 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  d
) ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  x ) ) )
17890, 94abssubd 11982 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  =  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) ) )
179 elicopnf 10786 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
18070, 179ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
18169, 80, 180sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )
182 fveq2 5563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
183182fveq2d 5567 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
184183oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  S ) )
185184fveq2d 5567 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  S ) ) )
186 fveq2 5563 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  x
) )
187186oveq2d 5916 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( C  /  ( sqr `  y
) )  =  ( C  /  ( sqr `  x ) ) )
188185, 187breq12d 4073 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) )  <-> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  x ) ) ) )
189188rspcv 2914 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  y
) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) )  <_  ( C  / 
( sqr `  x
) ) ) )
190181, 157, 189sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  x ) ) )
191178, 190eqbrtrd 4080 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )  <_  ( C  /  ( sqr `  x
) ) )
19292, 96, 139, 139, 177, 191le2addd 9435 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  <_ 
( ( C  / 
( sqr `  x
) )  +  ( C  /  ( sqr `  x ) ) ) )
193 2cn 9861 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
194193a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
195102adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  RR )
196195recnd 8906 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  C  e.  CC )
197196adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  C  e.  CC )
198106rpcnne0d 10446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0
) )
199198adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  x )  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0
) )
200 divass 9487 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  C  e.  CC  /\  (
( sqr `  x
)  e.  CC  /\  ( sqr `  x )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) )  =  ( 2  x.  ( C  /  ( sqr `  x
) ) ) )
201194, 197, 199, 200syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( 2  x.  ( C  /  ( sqr `  x
) ) ) )
202139recnd 8906 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( C  /  ( sqr `  x
) )  e.  CC )
2032022timesd 10001 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( C  / 
( sqr `  x
) ) )  =  ( ( C  / 
( sqr `  x
) )  +  ( C  /  ( sqr `  x ) ) ) )
204201, 203eqtrd 2348 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  C )  /  ( sqr `  x
) )  =  ( ( C  /  ( sqr `  x ) )  +  ( C  / 
( sqr `  x
) ) ) )
205192, 204breqtrrd 4086 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) )  -  S ) )  +  ( abs `  ( S  -  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) ) )  <_ 
( ( 2  x.  C )  /  ( sqr `  x ) ) )
20642, 97, 108, 135, 205letrd 9018 1  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( ( 2  x.  C )  / 
( sqr `  x
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   {crab 2581    \ cdif 3183    u. cun 3184    i^i cin 3185   (/)c0 3489   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    +oocpnf 8909    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   RR+crp 10401   [,)cico 10705   ...cfz 10829   |_cfl 10971    seq cseq 11093   ^cexp 11151   sqrcsqr 11765   abscabs 11766    ~~> cli 12005   sum_csu 12205   Basecbs 13195   0gc0g 13449   ZRHomczrh 16507  ℤ/nczn 16510  DChrcdchr 20524
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem1  20718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-addf 8861  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-tpos 6276  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-oadd 6525  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-rp 10402  df-ico 10709  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-0g 13453  df-imas 13460  df-divs 13461  df-mnd 14416  df-mhm 14464  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-nsg 14668  df-eqg 14669  df-ghm 14730  df-cmn 15140  df-abl 15141  df-mgp 15375  df-rng 15389  df-cring 15390  df-ur 15391  df-oppr 15454  df-dvdsr 15472  df-unit 15473  df-rnghom 15545  df-subrg 15592  df-lmod 15678  df-lss 15739  df-lsp 15778  df-sra 15974  df-rgmod 15975  df-lidl 15976  df-rsp 15977  df-2idl 16033  df-cnfld 16433  df-zrh 16511  df-zn 16514  df-dchr 20525
  Copyright terms: Public domain W3C validator