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Theorem dchrisum0lem2 21080
Description: Lemma for dchrisum0 21082. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
dchrisum0lem2.k  |-  K  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrisum0lem2.e  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0lem2.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  T )
dchrisum0lem2.3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    E, d, m, x, y    m, K, y   
m, N, x, y    ph, d, m, x    T, d, m, x, y    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    T( a)    U( y, a, d)    .1. ( a,
d)    E( a)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    K( x, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2
StepHypRef Expression
1 2cn 10003 . . . 4  |-  2  e.  CC
21a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  2  e.  CC )
3 rpcn 10553 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
43adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
5 fzfid 11240 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
6 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
7 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
9 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
10 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
11 ssrab2 3372 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
1210, 11eqsstri 3322 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
13 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1412, 13sseldi 3290 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1514eldifad 3276 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1615ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
17 elfzelz 10992 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
1817adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
196, 7, 8, 9, 16, 18dchrzrhcl 20897 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
20 elfznn 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
2120nnrpd 10580 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
2221adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2322rpcnd 10583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  CC )
2422rpne0d 10586 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  =/=  0 )
2519, 23, 24divcld 9723 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
265, 25fsumcl 12455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
274, 26mulcld 9042 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
28 rpssre 10555 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
29 o1const 12341 . . . . 5  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  2  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O ( 1 ) )
3028, 1, 29mp2an 654 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O ( 1 )
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  2 )  e.  O
( 1 ) )
3228a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
33 1re 9024 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
35 dchrisum0lem2.e . . . . 5  |-  ( ph  ->  E  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
36 elrege0 10940 . . . . . 6  |-  ( E  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( E  e.  RR  /\  0  <_  E ) )
3736simplbi 447 . . . . 5  |-  ( E  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  E  e.  RR )
3835, 37syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
394, 26absmuld 12184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
40 rprege0 10559 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
4140adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
42 absid 12029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
4341, 42syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4443oveq1d 6036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  x )  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
4539, 44eqtrd 2420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs `  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )
4645adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  =  ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
4726adantrr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  e.  CC )
4847subid1d 9333 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  -  0 )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
4920adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
50 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
5150fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
52 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
5351, 52oveq12d 6039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
54 dchrisum0lem2.k . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
55 ovex 6046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a )  e. 
_V
5653, 54, 55fvmpt3i 5749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
5749, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
5857adantlrr 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( K `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )
59 rpregt0 10558 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
6059ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
6160simpld 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
62 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
63 flge1nn 11154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
6461, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
65 nnuz 10454 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6664, 65syl6eleq 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  x
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
6725adantlrr 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
6858, 66, 67fsumser 12452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  (  seq  1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) ) )
69 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
70 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
71 eldifsni 3872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
7214, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
73 dchrisum0lem2.t . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  K )  ~~>  T )
74 dchrisum0lem2.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  y
) )
757, 9, 69, 6, 8, 70, 15, 72, 54, 35, 73, 74, 10dchrvmaeq0 21066 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  T  =  0 ) )
7613, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  =  0 )
7776adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  T  =  0 )
7877eqcomd 2393 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  =  T )
7968, 78oveq12d 6039 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  -  0 )  =  ( (  seq  1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8048, 79eqtr3d 2422 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8180fveq2d 5673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  x ) )  -  T ) ) )
82 elicopnf 10933 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8333, 82ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8461, 62, 83sylanbrc 646 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )
8574adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y ) )
86 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
8786fveq2d 5673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  K
) `  ( |_ `  x ) ) )
8887oveq1d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  x ) )  -  T ) )
8988fveq2d 5673 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  x ) )  -  T ) ) )
90 oveq2 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  ( E  /  y )  =  ( E  /  x
) )
9189, 90breq12d 4167 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  y
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  x
) ) )
9291rspcv 2992 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  K ) `  ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_  ( E  /  y )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  x
) ) )
9384, 85, 92sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  K ) `
 ( |_ `  x ) )  -  T ) )  <_ 
( E  /  x
) )
9481, 93eqbrtrd 4174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) )
9547abscld 12166 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  e.  RR )
9638adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  E  e.  RR )
97 lemuldiv2 9823 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )  e.  RR  /\  E  e.  RR  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  <_  E  <->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9895, 96, 60, 97syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  <_  E  <->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  <_  ( E  /  x ) ) )
9994, 98mpbird 224 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  <_  E
)
10046, 99eqbrtrd 4174 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  <_  E
)
10132, 27, 34, 38, 100elo1d 12258 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )  e.  O
( 1 ) )
1022, 27, 31, 101o1mul2 12346 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  (
x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
103 fzfid 11240 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
10422rpsqrcld 12142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
105104rpcnd 10583 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
106104rpne0d 10586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
10719, 105, 106divcld 9723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
108107adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
109 elfznn 11013 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
110109adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
111110nnrpd 10580 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
112111rpsqrcld 12142 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
113112rpcnd 10583 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  CC )
114112rpne0d 10586 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  =/=  0
)
115108, 113, 114divcld 9723 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  e.  CC )
116103, 115fsumcl 12455 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
1175, 116fsumcl 12455 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
118 mulcl 9008 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
1191, 27, 118sylancr 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  e.  CC )
120 2re 10002 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
121 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
122 2z 10245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  ZZ
123 rpexpcl 11328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
124121, 122, 123sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
125 rpdivcl 10567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
126124, 21, 125syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
127126rpsqrcld 12142 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR+ )
128127rpred 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
129 remulcl 9009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  RR )
130120, 128, 129sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  RR )
131130recnd 9048 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
132107, 131mulcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  CC )
1335, 116, 132fsumsub 12499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
134112rpcnne0d 10590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
135 reccl 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  d
) )  e.  CC )
137103, 136fsumcl 12455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
138107, 137, 131subdid 9422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x. 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
139 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
140139oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  (
1 ... ( |_ `  y ) )  =  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
141140sumeq1d 12423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )
142 fveq2 5669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )
143142oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  (
2  x.  ( sqr `  y ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
144141, 143oveq12d 6039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( x ^ 2 )  /  m )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
145 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
146 ovex 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) )  e.  _V
147144, 145, 146fvmpt3i 5749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
148126, 147syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
149148oveq2d 6037 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
150108, 113, 114divrecd 9726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
151150sumeq2dv 12425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
152103, 107, 136fsummulc2 12495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x. 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
153151, 152eqtr4d 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) ) )
154153oveq1d 6036 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  -  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
155138, 149, 1543eqtr4d 2430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
156155sumeq2dv 12425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) ) )
157 mulcl 9008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 2  x.  x
)  e.  CC )
1581, 4, 157sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  x )  e.  CC )
1595, 158, 25fsummulc2 12495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 2  x.  x )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
1602, 4, 26mulassd 9045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) ) )
161158adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  x )  e.  CC )
162161, 107, 105, 106div12d 9759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( 2  x.  x )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
163104rpcnne0d 10590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
164 divdiv1 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) ) ) )
16519, 163, 163, 164syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  m
) ) ) )
16622rprege0d 10588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
167 remsqsqr 11990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  -> 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) )  =  m )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  m
) )  =  m )
169168oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
170165, 169eqtr2d 2421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
171170oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( 2  x.  x )  x.  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) ) )
172124adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
173172rprege0d 10588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
174 sqrdiv 11999 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
175173, 22, 174syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
17640ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
177 sqrsq 12003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
178176, 177syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
179178oveq1d 6036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
180175, 179eqtrd 2420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
181180oveq2d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
1821a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  2  e.  CC )
1834adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
184 divass 9629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  x  e.  CC  /\  (
( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
185182, 183, 163, 184syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  /  ( sqr `  m
) )  =  ( 2  x.  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
186181, 185eqtr4d 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 2  x.  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( 2  x.  x
)  /  ( sqr `  m ) ) )
187186oveq2d 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( 2  x.  x )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
188162, 171, 1873eqtr4d 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
2  x.  x )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )
189188sumeq2dv 12425 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( 2  x.  x )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
2  x.  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ) )
190159, 160, 1893eqtr3d 2428 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 2  x.  ( x  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) )
191190oveq2d 6037 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( 2  x.  ( sqr `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ) ) )
192133, 156, 1913eqtr4d 2430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) )
193192mpteq2dva 4237 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) ) )
194 dchrisum0lem1.f . . . . 5  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
195 dchrisum0.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
196 dchrisum0.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
197 dchrisum0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
198 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
1997, 9, 69, 6, 8, 70, 10, 13, 194, 195, 196, 197, 145, 198dchrisum0lem2a 21079 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
200193, 199eqeltrrd 2463 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
201117, 119, 200o1dif 12351 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O ( 1 )  <->  ( x  e.  RR+  |->  ( 2  x.  ( x  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) ) ) )  e.  O
( 1 ) ) )
202102, 201mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   {crab 2654    \ cdif 3261    C_ wss 3264   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   RR+crp 10545   [,)cico 10851   ...cfz 10976   |_cfl 11129    seq cseq 11251   ^cexp 11310   sqrcsqr 11966   abscabs 11967    ~~> cli 12206    ~~> r crli 12207   O (
1 )co1 12208   sum_csu 12407   Basecbs 13397   0gc0g 13651   ZRHomczrh 16702  ℤ/nczn 16705  DChrcdchr 20884
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem3  21081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-disj 4125  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6842  df-ec 6844  df-qs 6848  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-acn 7763  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-o1 12212  df-lo1 12213  df-sum 12408  df-ef 12598  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-dvds 12781  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-divs 13663  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-nsg 14870  df-eqg 14871  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-od 15095  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-dvr 15716  df-rnghom 15747  df-drng 15765  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-lsp 15976  df-sra 16172  df-rgmod 16173  df-lidl 16174  df-rsp 16175  df-2idl 16231  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-zrh 16706  df-zn 16709  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-cmp 17373  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323  df-dchr 20885
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