Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0lem2a Unicode version

Theorem dchrisum0lem2a 20682
 Description: Lemma for dchrisum0 20685. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum2.g DChr
rpvmasum2.d
rpvmasum2.1
rpvmasum2.w
dchrisum0.b
dchrisum0lem1.f
dchrisum0.c
dchrisum0.s
dchrisum0.1
dchrisum0lem2.h
dchrisum0lem2.u
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,,,   ,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   (,)   ()   (,,)   (,)   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11051 . . . 4
2 simpl 443 . . . . 5
3 elfznn 10835 . . . . 5
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7 DChr
5 rpvmasum.z . . . . . . 7 ℤ/n
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7
7 rpvmasum.l . . . . . . 7 RHom
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11
9 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11
108, 9eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10
1210, 11sseldi 3191 . . . . . . . . 9
13 eldifi 3311 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8
1514adantr 451 . . . . . . 7
16 nnz 10061 . . . . . . . 8
1716adantl 452 . . . . . . 7
184, 5, 6, 7, 15, 17dchrzrhcl 20500 . . . . . 6
19 nnrp 10379 . . . . . . . . 9
2019adantl 452 . . . . . . . 8
2120rpsqrcld 11910 . . . . . . 7
2221rpcnd 10408 . . . . . 6
2321rpne0d 10411 . . . . . 6
2418, 22, 23divcld 9552 . . . . 5
252, 3, 24syl2an 463 . . . 4
261, 25fsumcl 12222 . . 3
27 dchrisum0lem2.u . . . . 5
28 rlimcl 11993 . . . . 5
2927, 28syl 15 . . . 4
31 0xr 8894 . . . . . . . . 9
32 0lt1 9312 . . . . . . . . 9
33 df-ioo 10676 . . . . . . . . . 10
34 df-ico 10678 . . . . . . . . . 10
35 xrltletr 10504 . . . . . . . . . 10
3633, 34, 35ixxss1 10690 . . . . . . . . 9
3731, 32, 36mp2an 653 . . . . . . . 8
38 ioorp 10743 . . . . . . . 8
3937, 38sseqtri 3223 . . . . . . 7
40 resmpt 5016 . . . . . . 7
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6
4239sseli 3189 . . . . . . . . 9
433adantl 452 . . . . . . . . . 10
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13
4544fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
46 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
4745, 46oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11
48 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11
49 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11
5047, 48, 49fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . 10
5143, 50syl 15 . . . . . . . . 9
5242, 51sylanl2 632 . . . . . . . 8
53 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12
54 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11
56 flge1nn 10965 . . . . . . . . . . 11
5755, 56sylbi 187 . . . . . . . . . 10
5857adantl 452 . . . . . . . . 9
59 nnuz 10279 . . . . . . . . 9
6058, 59syl6eleq 2386 . . . . . . . 8
6142, 25sylanl2 632 . . . . . . . 8
6252, 60, 61fsumser 12219 . . . . . . 7
6362mpteq2dva 4122 . . . . . 6
6441, 63syl5eq 2340 . . . . 5
65 fveq2 5541 . . . . . . 7
66 rpssre 10380 . . . . . . . . 9
6766a1i 10 . . . . . . . 8
6839, 67syl5ss 3203 . . . . . . 7
69 1z 10069 . . . . . . . 8
7069a1i 10 . . . . . . 7
7147cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . 13
7248, 71eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12
7324, 72fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11
74 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . . 10
7659, 70, 75serf 11090 . . . . . . . . 9
7776feqmptd 5591 . . . . . . . 8
78 dchrisum0.s . . . . . . . 8
7977, 78eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7
80 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
8176, 80sylan 457 . . . . . . 7
8255simprbi 450 . . . . . . . 8
8382adantl 452 . . . . . . 7
8459, 65, 68, 70, 79, 81, 83climrlim2 12037 . . . . . 6
85 rlimo1 12106 . . . . . 6
8684, 85syl 15 . . . . 5
8764, 86eqeltrd 2370 . . . 4
88 eqid 2296 . . . . . 6
8926, 88fmptd 5700 . . . . 5
9053a1i 10 . . . . 5
9189, 67, 90o1resb 12056 . . . 4
9287, 91mpbird 223 . . 3
93 o1const 12109 . . . 4
9466, 29, 93sylancr 644 . . 3
9526, 30, 92, 94o1mul2 12114 . 2
96 simpr 447 . . . . . . . . 9
97 2z 10070 . . . . . . . . 9
98 rpexpcl 11138 . . . . . . . . 9
9996, 97, 98sylancl 643 . . . . . . . 8
1003nnrpd 10405 . . . . . . . 8
101 rpdivcl 10392 . . . . . . . 8
10299, 100, 101syl2an 463 . . . . . . 7
103 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9
104103divsqrsumf 20291 . . . . . . . 8
105104ffvelrni 5680 . . . . . . 7
106102, 105syl 15 . . . . . 6
107106recnd 8877 . . . . 5
10825, 107mulcld 8871 . . . 4
1091, 108fsumcl 12222 . . 3
11026, 30mulcld 8871 . . 3
11127ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
112111, 28syl 15 . . . . . . . 8
11325, 112mulcld 8871 . . . . . . 7
1141, 108, 113fsumsub 12266 . . . . . 6
11525, 107, 112subdid 9251 . . . . . . 7
116115sumeq2dv 12192 . . . . . 6
1171, 30, 25fsummulc1 12263 . . . . . . 7
118117oveq2d 5890 . . . . . 6
119114, 116, 1183eqtr4d 2338 . . . . 5
120119mpteq2dva 4122 . . . 4
121107, 112subcld 9173 . . . . . . 7
12225, 121mulcld 8871 . . . . . 6
1231, 122fsumcl 12222 . . . . 5
124123abscld 11934 . . . . . . 7
125122abscld 11934 . . . . . . . 8
1261, 125fsumrecl 12223 . . . . . . 7
12753a1i 10 . . . . . . 7
1281, 122fsumabs 12275 . . . . . . 7
129 rprege0 10384 . . . . . . . . . . . 12
130129adantl 452 . . . . . . . . . . 11
131130simpld 445 . . . . . . . . . 10
132 reflcl 10944 . . . . . . . . . 10
133131, 132syl 15 . . . . . . . . 9
134133, 96rerpdivcld 10433 . . . . . . . 8
135 simplr 731 . . . . . . . . . . 11
136135rprecred 10417 . . . . . . . . . 10
13725abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12
138100rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . 14
139138adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13
140139rprecred 10417 . . . . . . . . . . . 12
141121abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12
142139, 135rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . 13
14366, 142sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12
14425absge0d 11942 . . . . . . . . . . . 12
145121absge0d 11942 . . . . . . . . . . . 12
1462, 3, 18syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
147139rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15
148139rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15
149146, 147, 148absdivd 11953 . . . . . . . . . . . . . 14
150139rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . 16
151 absid 11797 . . . . . . . . . . . . . . . 16
152150, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
153152oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14
154149, 153eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13
155146abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . 14
15653a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
157 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15
15814ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
159 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
160159nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1615, 157, 7znzrhfo 16517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
162 fof 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
163160, 161, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
164163adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . 16
166 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167164, 165, 166syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
1684, 6, 5, 157, 158, 167dchrabs2 20517 . . . . . . . . . . . . . 14
169155, 156, 139, 168lediv1dd 10460 . . . . . . . . . . . . 13
170154, 169eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12
171103, 111divsqrsum2 20293 . . . . . . . . . . . . . 14
172102, 171mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13
17399rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
174 sqrdiv 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
175173, 100, 174syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176129ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
177 sqrsq 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
178176, 177syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
179178oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
180175, 179eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15
181180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14
182 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16
183182ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
184139rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . . . . 15
185 recdiv 9482 . . . . . . . . . . . . . . 15
186183, 184, 185syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
187181, 186eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13
188172, 187breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12
189137, 140, 141, 143, 144, 145, 170, 188lemul12ad 9715 . . . . . . . . . . 11
19025, 121absmuld 11952 . . . . . . . . . . 11
191 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14
192191a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
193 dmdcan 9486 . . . . . . . . . . . . 13
194184, 183, 192, 193syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
195142rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . 13
196 reccl 9447 . . . . . . . . . . . . . 14
197184, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
198195, 197mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12
199194, 198eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11
200189, 190, 1993brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10
2011, 125, 136, 200fsumle 12273 . . . . . . . . 9
202 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . . . 12
203 hashfz1 11361 . . . . . . . . . . . 12
204130, 202, 2033syl 18 . . . . . . . . . . 11
205204oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
20696rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . 12
207206rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11
208 fsumconst 12268 . . . . . . . . . . 11
2091, 207, 208syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
210133recnd 8877 . . . . . . . . . . 11
211182adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
212211simpld 445 . . . . . . . . . . 11
213211simprd 449 . . . . . . . . . . 11
214210, 212, 213divrecd 9555 . . . . . . . . . 10
215205, 209, 2143eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9
216201, 215breqtrd 4063 . . . . . . . 8
217 flle 10947 . . . . . . . . . . 11
218131, 217syl 15 . . . . . . . . . 10
219131recnd 8877 . . . . . . . . . . 11
220219mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10
221218, 220breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9
222 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . 11
223222adantl 452 . . . . . . . . . 10
224 ledivmul 9645 . . . . . . . . . 10
225133, 127, 223, 224syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
226221, 225mpbird 223 . . . . . . . 8
227126, 134, 127, 216, 226letrd 8989 . . . . . . 7
228124, 126, 127, 128, 227letrd 8989 . . . . . 6
229228adantrr 697 . . . . 5
23067, 123, 90, 90, 229elo1d 12026 . . . 4
231120, 230eqeltrrd 2371 . . 3
232109, 110, 231o1dif 12119 . 2
23395, 232mpbird 223 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560   cdif 3162   wss 3165  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cres 4707  wf 5267  wfo 5269  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cpnf 8880  cxr 8882   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cioo 10672  cico 10674  cfz 10798  cfl 10940   cseq 11062  cexp 11120  chash 11353  csqr 11734  cabs 11735   cli 11974   crli 11975  co1 11976  csu 12174  cbs 13164  c0g 13416  RHomczrh 16467  ℤ/nℤczn 16470  DChrcdchr 20487 This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  20683 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
 Copyright terms: Public domain W3C validator