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Theorem dchrisum0lem2a 20682
Description: Lemma for dchrisum0 20685. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
dchrisum0lem2.h  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
dchrisum0lem2.u  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem2a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y    U, m, x    x, W   
m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    U( y, a, d)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    H( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem2a
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11051 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 simpl 443 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ph )
3 elfznn 10835 . . . . 5  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . . . . . 7  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
6 rpvmasum2.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 rpvmasum.l . . . . . . 7  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
8 rpvmasum2.w . . . . . . . . . . 11  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . 11  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
108, 9eqsstri 3221 . . . . . . . . . 10  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
11 dchrisum0.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1210, 11sseldi 3191 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
13 eldifi 3311 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  e.  D )
1412, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
1514adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
16 nnz 10061 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1716adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
184, 5, 6, 7, 15, 17dchrzrhcl 20500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
19 nnrp 10379 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR+ )
2019adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR+ )
2120rpsqrcld 11910 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
2221rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
2321rpne0d 10411 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
2418, 22, 23divcld 9552 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
252, 3, 24syl2an 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
261, 25fsumcl 12222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
27 dchrisum0lem2.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  H  ~~> r  U )
28 rlimcl 11993 . . . . 5  |-  ( H  ~~> r  U  ->  U  e.  CC )
2927, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
3029adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  U  e.  CC )
31 0xr 8894 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
32 0lt1 9312 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
33 df-ioo 10676 . . . . . . . . . 10  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
34 df-ico 10678 . . . . . . . . . 10  |-  [,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <  y ) } )
35 xrltletr 10504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( 0  <  1  /\  1  <_  w )  ->  0  <  w
) )
3633, 34, 35ixxss1 10690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  0  <  1 )  ->  (
1 [,)  +oo )  C_  ( 0 (,)  +oo ) )
3731, 32, 36mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  (
0 (,)  +oo )
38 ioorp 10743 . . . . . . . 8  |-  ( 0 (,)  +oo )  =  RR+
3937, 38sseqtri 3223 . . . . . . 7  |-  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+
40 resmpt 5016 . . . . . . 7  |-  ( ( 1 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
4239sseli 3189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
433adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  m  e.  NN )
44 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
4544fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
46 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  m  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  m
) )
4745, 46oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
48 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
49 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) )  e.  _V
5047, 48, 49fvmpt3i 5621 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )
5143, 50syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
5242, 51sylanl2 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )
53 1re 8853 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
54 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
5553, 54ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
56 flge1nn 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
5755, 56sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
5857adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
59 nnuz 10279 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6058, 59syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
6142, 25sylanl2 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  e.  CC )
6252, 60, 61fsumser 12219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )
6362mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |-> 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) ) )
6441, 63syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) ) )
65 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( |_ `  x )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  m
)  =  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )
66 rpssre 10380 . . . . . . . . 9  |-  RR+  C_  RR
6766a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
RR+  C_  RR )
6839, 67syl5ss 3203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 [,)  +oo )  C_  RR )
69 1z 10069 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
7069a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7147cbvmptv 4127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7248, 71eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
7324, 72fmptd 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
74 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `  m
)  e.  CC )
7573, 74sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
7659, 70, 75serf 11090 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC )
7776feqmptd 5591 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  ( m  e.  NN  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  m ) ) )
78 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
7977, 78eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  m ) )  ~~>  S )
80 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) : NN --> CC  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  m
)  e.  CC )
8176, 80sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  m
)  e.  CC )
8255simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
8382adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
8459, 65, 68, 70, 79, 81, 83climrlim2 12037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S )
85 rlimo1 12106 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) ) )  ~~> r  S  -> 
( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8684, 85syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 1 [,)  +oo )  |->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
8764, 86eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) )
88 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
8926, 88fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) ) : RR+ --> CC )
9053a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
9189, 67, 90o1resb 12056 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O ( 1 )  <->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  |`  ( 1 [,)  +oo ) )  e.  O
( 1 ) ) )
9287, 91mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  O ( 1 ) )
93 o1const 12109 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  U  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  U )  e.  O ( 1 ) )
9466, 29, 93sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  U )  e.  O
( 1 ) )
9526, 30, 92, 94o1mul2 12114 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  e.  O ( 1 ) )
96 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
97 2z 10070 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  ZZ
98 rpexpcl 11138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
9996, 97, 98sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
1003nnrpd 10405 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  RR+ )
101 rpdivcl 10392 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x ^ 2 )  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
10299, 100, 101syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )
103 dchrisum0lem2.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )
104103divsqrsumf 20291 . . . . . . . 8  |-  H : RR+
--> RR
105104ffvelrni 5680 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+  ->  ( H `
 ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  e.  RR )
106102, 105syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  RR )
107106recnd 8877 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  e.  CC )
10825, 107mulcld 8871 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
1091, 108fsumcl 12222 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  e.  CC )
11026, 30mulcld 8871 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  e.  CC )
11127ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  H  ~~> r  U
)
112111, 28syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  U  e.  CC )
11325, 112mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U )  e.  CC )
1141, 108, 113fsumsub 12266 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
11525, 107, 112subdid 9251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
116115sumeq2dv 12192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
1171, 30, 25fsummulc1 12263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
)  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) )
118117oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )
119114, 116, 1183eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) ) )
120119mpteq2dva 4122 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) ) )
121107, 112subcld 9173 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) )  -  U )  e.  CC )
12225, 121mulcld 8871 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  CC )
1231, 122fsumcl 12222 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  e.  CC )
124123abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
125122abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  e.  RR )
1261, 125fsumrecl 12223 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  RR )
12753a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
1281, 122fsumabs 12275 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) ) )
129 rprege0 10384 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
130129adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
131130simpld 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
132 reflcl 10944 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
134133, 96rerpdivcld 10433 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
135 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  RR+ )
136135rprecred 10417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
13725abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  e.  RR )
138100rpsqrcld 11910 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
139138adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
140139rprecred 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  RR )
141121abscld 11934 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  e.  RR )
142139, 135rpdivcld 10423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR+ )
14366, 142sseldi 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  RR )
14425absge0d 11942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) ) ) )
145121absge0d 11942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )
1462, 3, 18syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
147139rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  CC )
148139rpne0d 10411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  m )  =/=  0
)
149146, 147, 148absdivd 11953 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) ) )
150139rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  RR  /\  0  <_ 
( sqr `  m
) ) )
151 absid 11797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  RR  /\  0  <_  ( sqr `  m
) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
152150, 151syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sqr `  m
) )  =  ( sqr `  m ) )
153152oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( abs `  ( sqr `  m
) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
154149, 153eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  /  ( sqr `  m ) ) )
155146abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  e.  RR )
15653a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
157 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
15814ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  X  e.  D )
159 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
160159nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1615, 157, 7znzrhfo 16517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
162 fof 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
163160, 161, 1623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
164163adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  L : ZZ
--> ( Base `  Z
) )
165 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  m  e.  ZZ )
166 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
167164, 165, 166syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( L `  m )  e.  (
Base `  Z )
)
1684, 6, 5, 157, 158, 167dchrabs2 20517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( X `  ( L `  m )
) )  <_  1
)
169155, 156, 139, 168lediv1dd 10460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  ( sqr `  m ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
170154, 169eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) ) )  <_  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )
171103, 111divsqrsum2 20293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  ( ( x ^ 2 )  /  m )  e.  RR+ )  ->  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) )  <_  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )
172102, 171mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) )
17399rprege0d 10413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
x ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) ) )
174 sqrdiv 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x ^
2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( x ^ 2 ) )  /\  m  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  =  ( ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m
) ) )
175173, 100, 174syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( ( sqr `  (
x ^ 2 ) )  /  ( sqr `  m ) ) )
176129ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
177 sqrsq 11771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( sqr `  (
x ^ 2 ) )  =  x )
178176, 177syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( x ^ 2 ) )  =  x )
179178oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  ( x ^
2 ) )  / 
( sqr `  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
180175, 179eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sqr `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  =  ( x  /  ( sqr `  m ) ) )
181180oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( 1  /  ( x  /  ( sqr `  m
) ) ) )
182 rpcnne0 10387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
183182ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
184139rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
185 recdiv 9482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m
)  =/=  0 ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
186183, 184, 185syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
187181, 186eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  =  ( ( sqr `  m
)  /  x ) )
188172, 187breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) )  <_  (
( sqr `  m
)  /  x ) )
189137, 140, 141, 143, 144, 145, 170, 188lemul12ad 9715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
( 1  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( sqr `  m )  /  x
) ) )
19025, 121absmuld 11952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  =  ( ( abs `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) ) )  x.  ( abs `  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) ) )
191 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
192191a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
193 dmdcan 9486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( sqr `  m )  /  x )  x.  ( 1  /  ( sqr `  m ) ) )  =  ( 1  /  x ) )
194184, 183, 192, 193syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( 1  /  x
) )
195142rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  /  x )  e.  CC )
196 reccl 9447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  -> 
( 1  /  ( sqr `  m ) )  e.  CC )
197184, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( sqr `  m
) )  e.  CC )
198195, 197mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( sqr `  m
)  /  x )  x.  ( 1  / 
( sqr `  m
) ) )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
199194, 198eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( sqr `  m
)  /  x ) ) )
200189, 190, 1993brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  (
( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) )  -  U ) ) )  <_  (
1  /  x ) )
2011, 125, 136, 200fsumle 12273 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
202 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
203 hashfz1 11361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
204130, 202, 2033syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_ `  x ) )
205204oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
20696rpreccld 10416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
207206rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
208 fsumconst 12268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
2091, 207, 208syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
210133recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
211182adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
212211simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
213211simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  =/=  0 )
214210, 212, 213divrecd 9555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
215205, 209, 2143eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
216201, 215breqtrd 4063 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
217 flle 10947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
218131, 217syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  x
)
219131recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  CC )
220219mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
221218, 220breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) )
222 rpregt0 10383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
223222adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )
224 ledivmul 9645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
225133, 127, 223, 224syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
226221, 225mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_  1
)
227126, 134, 127, 216, 226letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
228124, 126, 127, 128, 227letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
229228adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  <_ 
1 )
23067, 123, 90, 90, 229elo1d 12026 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( ( H `  ( ( x ^
2 )  /  m
) )  -  U
) ) )  e.  O ( 1 ) )
231120, 230eqeltrrd 2371 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) )  -  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  x.  U
) ) )  e.  O ( 1 ) )
232109, 110, 231o1dif 12119 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  x.  ( H `  ( (
x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O
( 1 )  <->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  U ) )  e.  O ( 1 ) ) )
23395, 232mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  x.  ( H `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    |` cres 4707   -->wf 5267   -onto->wfo 5269   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940    seq cseq 11062   ^cexp 11120   #chash 11353   sqrcsqr 11734   abscabs 11735    ~~> cli 11974    ~~> r crli 11975   O (
1 )co1 11976   sum_csu 12174   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrisum0lem2  20683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-dvr 15481  df-rnghom 15512  df-drng 15530  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-cmp 17130  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
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