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Theorem dchrisum0lem3 20668
Description: Lemma for dchrisum0 20669. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables  c 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 sumex 12160 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
43a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
5 sumex 12160 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
65a1i 10 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
7 rpvmasum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 rpvmasum.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
9 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 rpvmasum2.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum2.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
12 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
13 rpvmasum2.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
14 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
1513, 14eqsstri 3208 . . . . . . 7  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
16 difss 3303 . . . . . . 7  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1715, 16sstri 3188 . . . . . 6  |-  W  C_  D
18 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1917, 18sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2015, 18sseldi 3178 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
21 eldifsni 3750 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
2220, 21syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
23 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 22, 23dchrmusumlema 20642 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) )
259adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
2618adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  W )
27 dchrisum0lem1.f . . . . . . . 8  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
28 dchrisum0.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2928adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
30 dchrisum0.s . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3130adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  S )
32 dchrisum0.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
3332adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
3534divsqrsum 20276 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
3634divsqrsumf 20275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> RR
37 ax-resscn 8794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  C_  CC
38 fss 5397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC )
3936, 37, 38mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC
4039a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> CC )
41 rpsup 10970 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  =  +oo
4241a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4340, 42rlimdm 12025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  e.  dom  ~~> r  <->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) ) )
4435, 43mpbii 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
4544adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
46 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
47 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t )
48 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )
497, 8, 25, 10, 11, 12, 13, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 45, 23, 46, 47, 48dchrisum0lem2 20667 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O ( 1 ) )
5049expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5150rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5251exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5324, 52mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
547, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 27, 28, 30, 32dchrisum0lem1 20665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
554, 6, 53, 54o1add2 12097 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
56 ovex 5883 . . 3  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V
5756a1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V )
58 fzfid 11035 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
59 fzfid 11035 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
6019ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  X  e.  D )
61 elfzelz 10798 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6261adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6310, 7, 11, 8, 60, 62dchrzrhcl 20484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
6463adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
65 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6665adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
6766nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
68 elfznn 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
6968nnrpd 10389 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
70 rpmulcl 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
m  x.  d )  e.  RR+ )
7167, 69, 70syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  x.  d )  e.  RR+ )
7271rpsqrcld 11894 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  RR+ )
7372rpcnd 10392 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  CC )
7472rpne0d 10395 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =/=  0
)
7564, 73, 74divcld 9536 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  e.  CC )
7659, 75fsumcl 12206 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7758, 76fsumcl 12206 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7877abscld 11918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7978adantrr 697 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
8066adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
8180nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
8281rprege0d 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
8368adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
8483nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
8584rprege0d 10397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
86 sqrmul 11745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )
)  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8782, 85, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
8981rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
9089rpcnne0d 10399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
9184rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
9291rpcnne0d 10399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
93 divdiv1 9471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) ) )
9464, 90, 92, 93syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
9588, 94eqtr4d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9695sumeq2dv 12176 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
9796sumeq2dv 12176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9897adantrr 697 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
99 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
10099rpred 10390 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
101 reflcl 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
102100, 101syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
103102ltp1d 9687 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
104 fzdisj 10817 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  <  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  (/) )
105103, 104syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
106105adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
10799rprege0d 10397 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
108 flge0nn0 10948 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
109 nn0p1nn 10003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
110107, 108, 1093syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
111 nnuz 10263 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
112110, 111syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
113112adantrr 697 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
114100adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
115 2z 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
116 rpexpcl 11122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
11799, 115, 116sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
118117adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR+ )
119118rpred 10390 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
120114recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
121120mulid1d 8852 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
122 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
1231a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR )
124 rpregt0 10367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
125124ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
126 lemul2 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( 1  <_  x 
<->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
127123, 114, 125, 126syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
128122, 127mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) )
129121, 128eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x  x.  x ) )
130120sqvald 11242 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x ) )
131129, 130breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x ^
2 ) )
132 flword2 10943 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  x  <_  ( x ^
2 ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
133114, 119, 131, 132syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
134 fzsplit2 10815 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
135113, 133, 134syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) ) )
136 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  e.  Fin )
13796, 76eqeltrrd 2358 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
138137adantlrr 701 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
139106, 135, 136, 138fsumsplit 12212 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
14098, 139eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
141140fveq2d 5529 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
142 eqle 8923 . . 3  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
14379, 141, 142syl2anc 642 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
1442, 55, 57, 77, 143o1le 12126 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719    ~~> cli 11958    ~~> r crli 11959   O (
1 )co1 11960   sum_csu 12158   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrisum0  20669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-dchr 20472
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