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Theorem dchrisum0lem3 21170
Description: Lemma for dchrisum0 21171. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
dchrisum0.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrisum0.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrisum0.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lem3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Distinct variable groups:    x, m, y,  .1.    m, d, x, y, C    F, d, x, y   
a, d, m, x, y    m, N, x, y    ph, d, m, x    S, d, m, x, y   
x, W    m, Z, x, y    D, m, x, y    L, a, d, m, x, y    X, a, d, m, x, y   
m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a, d)    S( a)    .1. ( a, d)    F( a)    G( x, y, m, a, d)    N( a, d)    W( y, m, a, d)    Z( a, d)

Proof of Theorem dchrisum0lem3
Dummy variables  c 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9050 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 sumex 12440 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
5 sumex 12440 . . . 4  |-  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  _V )
7 rpvmasum.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
8 rpvmasum.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
9 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
10 rpvmasum2.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
11 rpvmasum2.d . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
12 rpvmasum2.1 . . . . 5  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
13 rpvmasum2.w . . . . . . . 8  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
14 ssrab2 3392 . . . . . . . 8  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
1513, 14eqsstri 3342 . . . . . . 7  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
16 difss 3438 . . . . . . 7  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
1715, 16sstri 3321 . . . . . 6  |-  W  C_  D
18 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
1917, 18sseldi 3310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2015, 18sseldi 3310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
21 eldifsni 3892 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
2220, 21syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
23 eqid 2408 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 19, 22, 23dchrmusumlema 21144 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) )
259adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
2618adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  W )
27 dchrisum0lem1.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
28 dchrisum0.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2928adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
30 dchrisum0.s . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3130adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  S )
32 dchrisum0.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
3332adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  ( sqr `  y ) ) )
34 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  =  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )
3534divsqrsum 20777 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) )  e.  dom  ~~> r
3634divsqrsumf 20776 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> RR
37 ax-resscn 9007 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  C_  CC
38 fss 5562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  (
y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC )
3936, 37, 38mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y ) ) ) ) : RR+ --> CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) : RR+ --> CC )
41 rpsup 11206 . . . . . . . . . . 11  |-  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  =  +oo
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  sup ( RR+ ,  RR* ,  <  )  =  +oo )
4340, 42rlimdm 12304 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  e.  dom  ~~> r  <->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) ) )
4435, 43mpbii 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
4544adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) )  ~~> r  (  ~~> r  `  ( y  e.  RR+  |->  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  y ) ) ( 1  /  ( sqr `  d ) )  -  ( 2  x.  ( sqr `  y
) ) ) ) ) )
46 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
47 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t )
48 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )
497, 8, 25, 10, 11, 12, 13, 26, 27, 29, 31, 33, 34, 45, 23, 46, 47, 48dchrisum0lem2 21169 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  O ( 1 ) )
5049rexlimdvaa 2795 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5150exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  -> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5224, 51mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
537, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 27, 28, 30, 32dchrisum0lem1 21167 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( ( ( |_ `  x
)  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )  e.  O ( 1 ) )
544, 6, 52, 53o1add2 12376 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
55 ovex 6069 . . 3  |-  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V
5655a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )  e.  _V )
57 fzfid 11271 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) )  e. 
Fin )
58 fzfid 11271 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) )  e. 
Fin )
5919ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  X  e.  D )
60 elfzelz 11019 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6160adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
6210, 7, 11, 8, 59, 61dchrzrhcl 20986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
6362adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
64 elfznn 11040 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  ->  m  e.  NN )
6564adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
6665nnrpd 10607 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
67 elfznn 11040 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  NN )
6867nnrpd 10607 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
( x ^ 2 )  /  m ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
69 rpmulcl 10593 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  (
m  x.  d )  e.  RR+ )
7066, 68, 69syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  x.  d )  e.  RR+ )
7170rpsqrcld 12173 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  RR+ )
7271rpcnd 10610 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  e.  CC )
7371rpne0d 10613 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =/=  0
)
7463, 72, 73divcld 9750 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  e.  CC )
7558, 74fsumcl 12486 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7657, 75fsumcl 12486 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  e.  CC )
7776abscld 12197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( abs ` 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7877adantrr 698 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR )
7965adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
8079nnrpd 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
8180rprege0d 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( m  e.  RR  /\  0  <_  m ) )
8267adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  NN )
8382nnrpd 10607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
8483rprege0d 10615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( d  e.  RR  /\  0  <_ 
d ) )
85 sqrmul 12024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <_  m )  /\  ( d  e.  RR  /\  0  <_  d )
)  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8681, 84, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  ( m  x.  d
) )  =  ( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) )
8786oveq2d 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
8880rpsqrcld 12173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  m )  e.  RR+ )
8988rpcnne0d 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  m )  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0
) )
9083rpsqrcld 12173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( sqr `  d )  e.  RR+ )
9190rpcnne0d 10617 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( sqr `  d )  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0
) )
92 divdiv1 9685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( ( sqr `  m
)  e.  CC  /\  ( sqr `  m )  =/=  0 )  /\  ( ( sqr `  d
)  e.  CC  /\  ( sqr `  d )  =/=  0 ) )  ->  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  ( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( ( sqr `  m
)  x.  ( sqr `  d ) ) ) )
9363, 89, 91, 92syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( ( sqr `  m )  x.  ( sqr `  d
) ) ) )
9487, 93eqtr4d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  / 
( sqr `  (
m  x.  d ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9594sumeq2dv 12456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) )
9695sumeq2dv 12456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
9796adantrr 698 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) ) )
98 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
9998rpred 10608 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR )
100 reflcl 11164 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
10199, 100syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
102101ltp1d 9901 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( |_ `  x )  <  (
( |_ `  x
)  +  1 ) )
103 fzdisj 11038 . . . . . . . 8  |-  ( ( |_ `  x )  <  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) )  =  (/) )
104102, 103syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
105104adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  (
( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) ) )  =  (/) )
10698rprege0d 10615 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
107 flge0nn0 11184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
108 nn0p1nn 10219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
109106, 107, 1083syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  NN )
110 nnuz 10481 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
111109, 110syl6eleq 2498 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
112111adantrr 698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
11399adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
114 2z 10272 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
115 rpexpcl 11359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  (
x ^ 2 )  e.  RR+ )
11698, 114, 115sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( x ^ 2 )  e.  RR+ )
117116adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR+ )
118117rpred 10608 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  e.  RR )
119113recnd 9074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  CC )
120119mulid1d 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  =  x )
121 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
1221a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  RR )
123 rpregt0 10585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
124123ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
125 lemul2 9823 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( 1  <_  x 
<->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
126122, 113, 124, 125syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) ) )
127121, 126mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x  x.  1 )  <_  ( x  x.  x ) )
128120, 127eqbrtrrd 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x  x.  x ) )
129119sqvald 11479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( x ^ 2 )  =  ( x  x.  x ) )
130128, 129breqtrrd 4202 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  <_  ( x ^
2 ) )
131 flword2 11179 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  ( x ^ 2 )  e.  RR  /\  x  <_  ( x ^
2 ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
132113, 118, 130, 131syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( |_ `  (
x ^ 2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )
133 fzsplit2 11036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( |_ `  x )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  ( x ^
2 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) ) )
134112, 132, 133syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  u.  ( ( ( |_
`  x )  +  1 ) ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) ) )
135 fzfid 11271 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) )  e.  Fin )
13695, 75eqeltrrd 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^
2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
137136adantlrr 702 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) )  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  e.  CC )
138105, 134, 135, 137fsumsplit 12492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  =  (
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
13997, 138eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) )
140139fveq2d 5695 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
141 eqle 9136 . . 3  |-  ( ( ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x ^
2 ) ) )
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  =  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
14278, 140, 141syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( ( X `  ( L `  m ) )  /  ( sqr `  m ) )  / 
( sqr `  d
) )  +  sum_ m  e.  ( ( ( |_ `  x )  +  1 ) ... ( |_ `  (
x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^ 2 )  /  m ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  / 
( sqr `  m
) )  /  ( sqr `  d ) ) ) ) )
1432, 54, 56, 76, 142o1le 12405 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x ^ 2 ) ) ) sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( ( x ^
2 )  /  m
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  /  ( sqr `  ( m  x.  d
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674   _Vcvv 2920    \ cdif 3281    u. cun 3282    i^i cin 3283    C_ wss 3284   (/)c0 3592   {csn 3778   class class class wbr 4176    e. cmpt 4230   dom cdm 4841   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   supcsup 7407   CCcc 8948   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    x. cmul 8955    +oocpnf 9077   RR*cxr 9079    < clt 9080    <_ cle 9081    - cmin 9251    / cdiv 9637   NNcn 9960   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   RR+crp 10572   [,)cico 10878   ...cfz 11003   |_cfl 11160    seq cseq 11282   ^cexp 11341   sqrcsqr 11997   abscabs 11998    ~~> cli 12237    ~~> r crli 12238   O (
1 )co1 12239   sum_csu 12438   Basecbs 13428   0gc0g 13682   ZRHomczrh 16737  ℤ/nczn 16740  DChrcdchr 20973
This theorem is referenced by:  dchrisum0  21171
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028  ax-addf 9029  ax-mulf 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-disj 4147  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-of 6268  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-ec 6870  df-qs 6874  df-map 6983  df-pm 6984  df-ixp 7027  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-fi 7378  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-cda 8008  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-7 10023  df-8 10024  df-9 10025  df-10 10026  df-n0 10182  df-z 10243  df-dec 10343  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-xneg 10670  df-xadd 10671  df-xmul 10672  df-ioo 10880  df-ioc 10881  df-ico 10882  df-icc 10883  df-fz 11004  df-fzo 11095  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-fac 11526  df-bc 11553  df-hash 11578  df-shft 11841  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-limsup 12224  df-clim 12241  df-rlim 12242  df-o1 12243  df-lo1 12244  df-sum 12439  df-ef 12629  df-sin 12631  df-cos 12632  df-pi 12634  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-phi 13114  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-starv 13503  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-tset 13507  df-ple 13508  df-ds 13510  df-unif 13511  df-hom 13512  df-cco 13513  df-rest 13609  df-topn 13610  df-topgen 13626  df-pt 13627  df-prds 13630  df-xrs 13685  df-0g 13686  df-gsum 13687  df-qtop 13692  df-imas 13693  df-divs 13694  df-xps 13695  df-mre 13770  df-mrc 13771  df-acs 13773  df-mnd 14649  df-mhm 14697  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-mulg 14774  df-subg 14900  df-nsg 14901  df-eqg 14902  df-ghm 14963  df-cntz 15075  df-od 15126  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-cring 15623  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-rnghom 15778  df-drng 15796  df-subrg 15825  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-sra 16203  df-rgmod 16204  df-lidl 16205  df-rsp 16206  df-2idl 16262  df-psmet 16653  df-xmet 16654  df-met 16655  df-bl 16656  df-mopn 16657  df-fbas 16658  df-fg 16659  df-cnfld 16663  df-zrh 16741  df-zn 16744  df-top 16922  df-bases 16924  df-topon 16925  df-topsp 16926  df-cld 17042  df-ntr 17043  df-cls 17044  df-nei 17121  df-lp 17159  df-perf 17160  df-cn 17249  df-cnp 17250  df-haus 17337  df-cmp 17408  df-tx 17551  df-hmeo 17744  df-fil 17835  df-fm 17927  df-flim 17928  df-flf 17929  df-xms 18307  df-ms 18308  df-tms 18309  df-cncf 18865  df-limc 19710  df-dv 19711  df-log 20411  df-cxp 20412  df-dchr 20974
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