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Theorem dchrisum0lema 20663
Description: Lemma for dchrisum0 20669. Apply dchrisum 20641 for the function  1  /  sqr y. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, m, c, t,  .1.    F, c, t, y    a, c, m, t, y    N, c, m, t, y    ph, c, m, t    W, c, t   
m, Z, y    D, c, m, t, y    L, a, c, m, t, y    X, a, c, m, t, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, m, a, c)    N( a)    W( y, m, a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 rpvmasum2.w . . . . . 6  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
8 ssrab2 3258 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
97, 8eqsstri 3208 . . . . 5  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
10 dchrisum0.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
119, 10sseldi 3178 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
12 eldifi 3298 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  e.  D )
1311, 12syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
14 eldifsni 3750 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1511, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
16 fveq2 5525 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  x
) )
1716oveq2d 5874 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  ( sqr `  n ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
18 1nn 9757 . . . 4  |-  1  e.  NN
1918a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
20 rpsqrcl 11750 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2120adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2221rprecred 10401 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  e.  RR )
23 simp3r 984 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
24 simp2l 981 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2524rprege0d 10397 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
26 simp2r 982 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
2726rprege0d 10397 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
28 sqrle 11746 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2925, 27, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
3023, 29mpbid 201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) )
3124rpsqrcld 11894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
3226rpsqrcld 11894 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
3331, 32lerecd 10409 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( sqr `  n )  <_  ( sqr `  x )  <->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
3430, 33mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) )
35 sqrlim 20267 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )  ~~> r  0
3635a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )  ~~> r  0 )
37 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
3837fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
39 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  n
) )
4039oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  a ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
4138, 40oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
4241cbvmptv 4111 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
431, 2, 3, 4, 5, 6, 13, 15, 17, 19, 22, 34, 36, 42dchrisum 20641 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
4413adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
45 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4645adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
474, 1, 5, 2, 44, 46dchrzrhcl 20484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
48 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4948nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
5049rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
5150rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
5250rpne0d 10395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  =/=  0
)
5347, 51, 52divrecd 9539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  ( sqr `  n
) )  =  ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
5453mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
55 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
5638, 39oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5756cbvmptv 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5855, 57eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5954, 58, 423eqtr4g 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) )
6059seqeq3d 11054 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) )
6160breq1d 4033 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )  ~~>  t ) )
6261adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t ) )
63 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
6463fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
6564oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )
6665fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
67 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  x
) )
6867oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  ( sqr `  y ) )  =  ( c  /  ( sqr `  x ) ) )
6966, 68breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) )  <-> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  x ) ) ) )
7069cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) )  <->  A. x  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) ) )
7159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )
7271seqeq3d 11054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) )
7372fveq1d 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
7473oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
7574fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) ) )
76 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
7776simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  c  e.  RR )
7877ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  c  e.  RR )
7978recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  c  e.  CC )
80 1re 8837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
81 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8280, 81ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8382simplbi 446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
8483adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
85 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
8685a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  e.  RR )
8780a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
88 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  1 )
9082simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
9190adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
9286, 87, 84, 89, 91ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  x )
9384, 92elrpd 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
9493rpsqrcld 11894 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
9594rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
9694rpne0d 10395 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0 )
9779, 95, 96divrecd 9539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
c  /  ( sqr `  x ) )  =  ( c  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
9875, 97breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  x ) )  <-> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9998ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
10070, 99syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
10162, 100anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  <->  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
102101rexbidva 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo )
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
103102exbidv 1612 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  <->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
10443, 103mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   [,)cico 10658   |_cfl 10924    seq cseq 11046   sqrcsqr 11718   abscabs 11719    ~~> cli 11958    ~~> r crli 11959   sum_csu 12158   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrisum0  20669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-dchr 20472
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