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Theorem dchrisum0lema 21208
Description: Lemma for dchrisum0 21214. Apply dchrisum 21186 for the function  1  /  sqr y. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
dchrisum0lem1.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0lema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, m, c, t,  .1.    F, c, t, y    a, c, m, t, y    N, c, m, t, y    ph, c, m, t    W, c, t   
m, Z, y    D, c, m, t, y    L, a, c, m, t, y    X, a, c, m, t, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, m, a, c)    N( a)    W( y, m, a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrisum0lema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum2.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum2.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum2.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 rpvmasum2.w . . . . . 6  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
8 ssrab2 3428 . . . . . 6  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
97, 8eqsstri 3378 . . . . 5  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
10 dchrisum0.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
119, 10sseldi 3346 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
1211eldifad 3332 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
13 eldifsni 3928 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1411, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
15 fveq2 5728 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( sqr `  n )  =  ( sqr `  x
) )
1615oveq2d 6097 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  ( sqr `  n ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) )
17 1nn 10011 . . . 4  |-  1  e.  NN
1817a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
19 rpsqrcl 12070 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2019adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
2120rprecred 10659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  ( sqr `  n
) )  e.  RR )
22 simp3r 986 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
23 simp2l 983 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2423rprege0d 10655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
25 simp2r 984 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
2625rprege0d 10655 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
27 sqrle 12066 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2824, 26, 27syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) ) )
2922, 28mpbid 202 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  <_  ( sqr `  x ) )
3023rpsqrcld 12214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  n
)  e.  RR+ )
3125rpsqrcld 12214 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( sqr `  x
)  e.  RR+ )
3230, 31lerecd 10667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( sqr `  n )  <_  ( sqr `  x )  <->  ( 1  /  ( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
3329, 32mpbid 202 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  / 
( sqr `  x
) )  <_  (
1  /  ( sqr `  n ) ) )
34 sqrlim 20811 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) )  ~~> r  0
3534a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )  ~~> r  0 )
36 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
3736fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
38 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  n
) )
3938oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  ( sqr `  a ) )  =  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) )
4037, 39oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
4140cbvmptv 4300 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) )
421, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 14, 16, 18, 21, 33, 35, 41dchrisum 21186 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
4312adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
44 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
4544adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
464, 1, 5, 2, 43, 45dchrzrhcl 21029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
47 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
4847nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 12214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  RR+ )
5049rpcnd 10650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  e.  CC )
5149rpne0d 10653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( sqr `  n )  =/=  0
)
5246, 50, 51divrecd 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  ( sqr `  n
) )  =  ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  n
) ) ) )
5352mpteq2dva 4295 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  n ) ) ) ) )
54 dchrisum0lem1.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  ( sqr `  a ) ) )
5537, 38oveq12d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  ( sqr `  a ) )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5655cbvmptv 4300 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  ( sqr `  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5754, 56eqtri 2456 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  ( sqr `  n ) ) )
5853, 57, 413eqtr4g 2493 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) )
5958seqeq3d 11331 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) ) )
6059breq1d 4222 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )  ~~>  t ) )
6160adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t ) )
62 fveq2 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
6362fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
6463oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )
6564fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
66 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( sqr `  y )  =  ( sqr `  x
) )
6766oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  ( sqr `  y ) )  =  ( c  /  ( sqr `  x ) ) )
6865, 67breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) )  <-> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  x ) ) ) )
6968cbvralv 2932 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) )  <->  A. x  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) ) )
7058ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a ) ) ) ) )
7170seqeq3d 11331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) )
7271fveq1d 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
7372oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
7473fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) ) )
75 elrege0 11007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
7675simplbi 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  c  e.  RR )
7776ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  c  e.  RR )
7877recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  c  e.  CC )
79 1re 9090 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR
80 elicopnf 11000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
8179, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
8281simplbi 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
8382adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
84 0re 9091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  e.  RR )
8679a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
87 0lt1 9550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <  1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  1 )
8981simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
9089adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
9185, 86, 83, 88, 90ltletrd 9230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  x )
9283, 91elrpd 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR+ )
9392rpsqrcld 12214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  RR+ )
9493rpcnd 10650 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  e.  CC )
9593rpne0d 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( sqr `  x )  =/=  0 )
9678, 94, 95divrecd 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
c  /  ( sqr `  x ) )  =  ( c  x.  (
1  /  ( sqr `  x ) ) ) )
9774, 96breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  x ) )  <-> 
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9897ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  x
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
9969, 98syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  ( sqr `  y
) )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) )
10061, 99anbi12d 692 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  <->  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
101100rexbidva 2722 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo )
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
102101exbidv 1636 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) )  <->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  ( sqr `  a
) ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  ( sqr `  x ) ) ) ) ) )
10342, 102mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  ( sqr `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3317   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   RR+crp 10612   [,)cico 10918   |_cfl 11201    seq cseq 11323   sqrcsqr 12038   abscabs 12039    ~~> cli 12278    ~~> r crli 12279   sum_csu 12479   Basecbs 13469   0gc0g 13723   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrisum0  21214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-phi 13155  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-invr 15777  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-dchr 21017
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